Esame del 3 dicembre 2021

Anno Accademico 2021/22
Corso di Laurea in Fisica
Prima verifica di Analisi Matematica 1
3 dicembre 2021

Teoria↵

Esercizio 1↵

Dare la definizione di maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme.
Dare la definizione di insieme limitato superiormente e non limitato inferiormente.
Dimostrare il teorema di esistenza dell'estremo superiore.

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Esercizio 2↵

Siano \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq \emptyset\) e \(f: A \rightarrow \mathbb{R}\)

Dare la definizione di funzione invertibile e di funzione strettamente monotona.
Dire, giustificando la risposta se la seguente affermazione è vera o falsa

\[f \text { è invertibile in } A \Longleftrightarrow f \text { è strettamente monotona in } A \text {. }\]

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Esercizi↵

Esercizio 3↵

Determinare il dominio delle funzioni definite dalle seguenti leggi

\[f(x)=\arcsin \frac{1}{\log x}, \quad g(x)=\log \frac{\sqrt{x^{2}-2 x}+|x|}{x+1}\]

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Esercizio 4↵

Risolvere in \(\mathbb{C}\) l'equazione

\[\bar{z} z^{2}+2(1+i)|z|^{2}+\sqrt{3} \bar{z}=0 .\]

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Esercizio 5↵

Determinare, al variare del parametro reale \(k>0\), l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'insieme numerico

\[A=\left\{k^{\sqrt{n^{2}+2}-n}, \quad n \in \mathbb{N}\right\} .\]

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