Esame del 28 gennaio 2022

Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2021/22
Seconda verifica di Analisi Matematica 1
28 gennaio 2022

TEORIA

Esercizio 1

Enunciare e dimostrare il teorema sul limite delle funzioni monotone.

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Esercizio 2

Sia \(\left\{a_{n}\right\}\) una successione numerica.

Dire, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false.

\[\begin{aligned} & \sup \left\{a_{n}\right\}=+\infty \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=+\infty \\ & \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=+\infty \Longrightarrow \sup \left\{a_{n}\right\}=+\infty \end{aligned}\]

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ESERCIZI

Esercizio 3

Determinare il dominio e la legge di definizione della funzione definita da

\[f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[n]{x^{2}+1}-1}{\log \left(1+\frac{|x|}{n}\right)}\]

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Esercizio 4

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}} \log \cos \left(x^{2}\right), \quad \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{(1+x)^{1+x}}{x^{x}}-x^{2}\right) \sin ^{2} \frac{1}{x}\]

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Esercizio 5

Stabilire per quali valori del parametro reale \(k>0\) l'insieme numerico

risulta limitato .

\[A=\left\{(-1)^{n} \frac{\log \left(1+\mathrm{e}^{n}\right)}{3 n^{k}+1}, \quad n \in \mathbb{N}\right\}\]

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Esercizio 6

Studiare il carattere della successione \(\left\{a_{n}\right\}\) definita da

\[a_{1}=2, \quad a_{n+1}=\frac{n^{2}}{2 n-1} a_{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}\]

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