Anno Accademico 2021/22
Corso di Laurea in Fisica
Prova intermedia di Analisi Matematica 1
4 marzo 2022

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Teoria

(1) Enunciare e dimostrare il teorema sull'esistenza delle radici \(n\)-esime di un numero complesso.

(2) Sia \(\left\{a_{n}\right\}\) una successione numerica. Dire giustificando le risposte quali relazioni intercorrono tra la convergenza e la limitatezza di \(\left\{a_{n}\right\}\).

ESERCIZI

Esercizio 1

Determinare il dominio delle funzioni definite dalle seguenti leggi

\[\begin{gathered} f(x)=\sup \left\{\left(x^{2 \log \frac{1}{x}}\right)^{n}, \quad n \in \mathbb{N}\right\} ; \\ g(x)=\sqrt{x^{2}-x|x|} \arctan \frac{x}{x-1} . \end{gathered}\]

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Esercizio 2

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2^{x}-2+\cos x+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x \sin x}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}-2 \arctan x^{3}}{x^{2}+3 x} \sin ^{2} x .\]

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Esercizio 3

Scrivere in forma algebrica le soluzioni complesse della seguente equazione

\[z^{4} \bar{z}(1+i)=|z|^{2}\]

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Esercizio 4

Studiare il carattere della successione \(\left\{a_{n}\right\}\) definita da

\[a_{1}=\frac{5}{2}, \quad a_{n+1}=\left(1+a_{n}\right)^{2} \quad \forall n \in \mathbb{N} .\]

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