Esame del 27 giugno 2022

Anno Accademico 2021-2022
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 1
27 giugno 2022

i) Durata: 3h min.

ii) Non si possono consultare libri o appunti.

iii) Gli studenti che hanno superato la prova intermedia devono svolgere solo gli esercizi 1, 2 e 3 .

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Esercizio 1

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x)=\frac{x}{2}+\arctan \frac{|1-x|}{2 x-1}\]

(i) determinarne il dominio e gli eventuali asintoti;

(ii) studiare la derivabilità, determinare gli eventuali punti di estremo relativo e gli intervalli in cui è monotona.

(iii) tracciare un grafico qualitativo di \(f\);

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Esercizio 2

Stabilire se la funzione definita dalla legge

\[f(x)=\frac{\log |x|}{(x+2)^{2}}\]

è integrabile nell'intervallo \([-1,1]\) e, in caso affermativo, calcolare

\[\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\]

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Esercizio 3

Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche

\[\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} \cos n^{2} \log \cos \frac{1}{n^{2}}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}+\log n} \sin \frac{2}{n !} .\]

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Esercizio 4

Determinare, al variare del parametro reale \(\lambda\) gli estremi dell'insieme numerico

\[X_{\lambda}=\left\{(|x|+(\sin \lambda) x) \mathrm{e}^{-x^{2}}, \quad x \in \mathbb{R}\right\}\]

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Esercizio 5

Scrivere in forma algebrica le soluzioni complesse dell'equazione

\[z^{2}|z|^{2}-(1+i) \bar{z}=0\]

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