Esame del 9 settembre 2022

Anno Accademico 2021-2022
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 1
9 settembre 2022

i) Durata: 3h.

ii) Non si possono consultare libri o appunti.

Esercizio 1

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x)=\frac{x-1}{x+3} \exp \left(-\frac{|x-1|}{x+3}\right)\]

(i) determinarne il dominio e gli eventuali asintoti;

(ii) studiare la derivabilità, determinare gli eventuali punti di estremo relativo e gli intervalli in cui è monotona;

(iii) tracciare un grafico qualitativo di \(f\);

(iv) determinare l'immagine di \(f\).

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Esercizio 2

Determinare \(F(x)\) primitiva di

\[f(x)=\arctan \frac{|1-x|}{2 x-1}\]

in \(] \frac{1}{2},+\infty[\) e tale che \(F(1)=0\).

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Esercizio 3

Studiare, al variare del parametro reale \(\alpha\) il carattere della seguente serie numerica

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{(-2)^{n}}{(3 n) !}-n^{\alpha}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)\right] .\]

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Esercizio 4

Scrivere in forma algebrica le soluzioni complesse dell'equazione

\[(z+i)^{2}=\frac{2-i}{2+i}\]

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