Esame del 30 settembre 2022

Anno Accademico 2021-2022
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 1
30 settembre 2022

i) Durata: 3h.

ii) Non si possono consultare libri o appunti.

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Esercizio 1

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x)=x \sqrt{\frac{|x+1|}{x+2}}\]

(i) determinarne il dominio e gli eventuali asintoti;

(ii) studiare la derivabilità, determinare gli eventuali punti di estremo relativo e gli intervalli in cui è monotona;

(iii) tracciare un grafico qualitativo di \(f\);

(iv) determinare l'immagine di \(f\).

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Esercizio 2

Calcolare, se esiste, il seguente integrale definito

\[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \log \sqrt{4-x} \mathrm{~d} x\]

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Esercizio 3

Studiare, al variare del parametro reale \(\alpha>0\) il carattere della seguente serie numerica

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4 n^{\alpha}-1}{n^{3}+1} \tan \frac{1}{n^{2}} .\]

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Esercizio 4

Determinare il numero di soluzioni dell'equazione

\[x^{3}+x=\arctan x\]

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Esercizio 5

Scrivere in forma algebrica le soluzioni complesse dell'equazione

\[\bar{z}\left(i z^{2}+1\right)=(-1+i)|z|^{2}\]

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