Esame del 24 febbraio 2023

Università degli Studi di Catania
Corso di Laurea in FISICA
Prova intermedia di Analisi Matematica 1
24 febbraio 2020

Esercizio 1↵

Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

Sia \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq \varnothing\).
- Si dice che \(A\) è dotato di minimo se ... (completare la definizione).
- Si dice che \(A\) è limitato inferiormente se ... (completare la definizione).
- Se \(A\) è limitato inferiormente, si chiama estremo inferiore di \(A\)... (completare la definizione).
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Dimostrare quelle vere e portare un controesempio per quelle false. - Se \(A\) è dotato di minimo allora \(A\) è limitato inferiormente; - se \(A\) è limitatato inferiormente allora \(A\) è dotato di minimo.
Sia \(\left\{a_{n}\right\}\) una successione di numeri reali.
Completare le seguenti definizioni.
- Si dice che \(\left\{a_{n}\right\}\) è di Cauchy se
- Si dice che \(\left\{a_{n}\right\}\) è limitata, se
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Per quelle false portare un controesempio. - Se \(\left\{a_{n}\right\}\) è di Cauchy allora \(\left\{a_{n}\right\}\) è limitata; - se \(\left\{a_{n}\right\}\) è limitata allora \(\left\{a_{n}\right\}\) è di Cauchy.

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Esercizio 2↵

Rispondere ad almeno una delle seguenti domande:

Enunciare e dimostrare il teorema sul limite delle funzioni monotone.
Enunciare e dimostrare il teorema di Weierstrass.

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Esercizio 3↵

Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

(1) Studiare il carattere della successione

\[\left\{\frac{\sqrt[n]{n !}}{n}\right\}\]

(2) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

\[\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{4}\left(1+\frac{\sin ^{3} x}{x}\right), \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\log \left(1+x+x^{2}\right)}{\sqrt{x}(1-\cos x)} .\]

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Esercizio 4↵

Risolvere almeno uno dei seguenti esercizi:

(1) Sia \(\left\{a_{n}\right\}\) una successione numerica tale che

\[a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\left(n^{2}+1\right) a_{n} \quad \forall n>1 .\]

Provare che

\[a_{n}>0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \text {. }\]

Cosa si può dire del

\[\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{a_{n}} ?\]

(2) Data la funzione definita dalla legge

\[f(x)=\sup _{n \in \mathbb{N}}\left(\sqrt{\frac{x|x|}{x+2}}\right)^{n}\]

determinarne il dominio;
stabilire se \(f\) è prolungabile per continuità in \(\mathbb{R}\) e, in caso affermativo, costruirne un prolungamento continuo.

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