Esame del 3 dicembre 2018

Università degli Studi di Catania
Anno Accademico 2017/18
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 2

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Esercizio 1

Determinare gli eventuali punti di estremo relativo della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x^{2} y \log \left(1+x^{2}+|y|\right) .\]

Trovare poi gli estremi assoluti, se esistono, nell'insieme

\[\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad|x| \leq 1, \quad|y| \leq x^{2}\right\}\]

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Esercizio 2

Calcolare

\[\int_{T}|x-z| d x d y d z\]

essendo \(T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad y \geq 0, \quad x^{2}+y \leq 1, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}\).

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Esercizio 3

Determinare una funzione \(f \in C^{1}(\mathbb{R})\), con \(f(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}\) e tale che la forma differenziale

\[\omega(x, y)=x y^{2} f(x) d x-y \log f(x) d y\]

sia esatta in \(\mathbb{R}^{2}\). Successivamente, determinare il potenziale \(U(x, y)\) di \(\omega\) tale che \(U(0,0)=1\).

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Esercizio 4

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 \log (n+3)}{n \sqrt{2^{n}}}(x+1)^{n} .\]

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Esercizio 5

Determinare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)\]

attraverso la superficie

\[\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2}=2 x, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}\]

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