Esame del 28 gennaio 2019

Università degli Studi di Catania - Anno Accademico 2017/18
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 2
28 gennaio 2019

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Esercizio 1

Determinare gli eventuali punti di estremo relativo e assoluto della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=y^{2}\left(y^{2}+x^{2}-2 x\right)\]

Esercizio 2

Calcolare

\[\int_{T}\left(x y^{2}+\frac{z^{2}}{x}\right) d x d y d z\]

essendo

\(T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{4} \leq x^{2} y^{2}+z^{2} \leq 4 x^{4}, \quad 0 \leq x y \leq z, \quad 1 \leq x \leq 2\right\}\)

Esercizio 3

Calcolare

\[\int_{\gamma}\left(\log y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) d x+\left(\frac{x}{y}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) d y\]

essendo \(\gamma\) la curva di equazioni parametriche

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=t+\cos ^{3} t \\ y(t)=1+\sin ^{3} t \end{array} t \in[0,2 \pi]\right.\]

orientata nel verso delle \(t\) crescenti.

Esercizio 4

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\log n}{2^{n}+3^{n}}(x-1)^{n}\]

Esercizio 5

Determinare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x, z^{2}, y^{2} z\right)\]

attraverso la superficie di equazione cartesiana

\[z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\]

e orientata con la normale verso l'alto

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