Esame del 18 febbraio 2019

Esercizio 1

Determinare gli eventuali estremi relativi e assoluti della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\frac{x y}{1+x^{4}+y^{4}}\]

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Esercizio 2

Calcolare

\[\int_{T} \frac{x-\sqrt{3} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y\]

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essendo

\[T=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad x^{2}+y^{2}-2 y \leq 0, \quad \sqrt{3} x+y \geq 2\right\}\]

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Esercizio 3

Data la forma differenziale

\[\omega(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}+f(y)\right) d x+x f(y) d y\]

Determinare l'unica funzione \(f \in C^{1}(\mathbb{R})\) tale che \(\omega\) sia esatta in \(\mathbb{R}^{2} \mathrm{e}\) \(f(0)=0\). In corrispondenza di tale \(f\), determinare il potenziale che si annulla nell'origine.

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Esercizio 4

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\log n}{n \sqrt{2^{n}}}(x-1)^{2 n} .\]

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Esercizio 5

Determinare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)\]

uscente dal tetraedro di vertici \((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)\) e \((0,0,1)\).

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