Università degli Studi di Catania - Anno Accademico 2018/19
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 2
24 aprile 2019

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Esercizio 1

Dato il campo vettoriale

\[\mathbf{F}(x, y)=\left[\frac{\varphi(y)}{x}+\cos y\right] \mathbf{i}+[2 y \log x-x \sin y] \mathbf{j}\]

determinare la funzione \(\varphi \in C^{1}(\mathbb{R})\) in modo che \(\varphi(0)=1\) e \(\mathbf{F}\) sia conservativo. Del campo cosí ottenuto determinare il potenziale che si annulla nel punto \(\left(\frac{\pi}{3}, 1\right)\).

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Esercizio 2

Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale

\[y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=e^{k x}\]

al variare del parametro reale \(k\).

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Esercizio 3

Calcolare

\[\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 1, \quad x^{2}+y^{2}+z \geq 1, \quad z \leq 3\right\} .\]

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Esercizio 4

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x^{2} \log (1+y)+x^{2} y^{2}\]

i) determinare il dominio e gli eventuali estremi relativi;

ii) determinare, se esistono, gli eventuali estremi assoluti.

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