Esame del 24 giugno 2019

Università degli Studi di Catania - Anno Accademico 2018/19
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 2
24 giugno 2019

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Esercizio 1

Stabilire se la forma differenziale

\[w(x, y)=\frac{2 x-y+1}{x^{2}+(y-1)^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+2 y-2}{x^{2}+(y-1)^{2}} \mathrm{~d} y\]

è esatta nel suo insieme di definizione. Calcolare poi

\[\int_{\gamma} w\]

essendo \(\gamma\) la curva di rappresentazione parametrica

\[\left\{\begin{array}{l} x=2 \cos t \\ y=\sin t-1 \end{array} \quad t \in[0,2 \pi]\right.\]

percorsa nel verso delle \(t\) crescenti.

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Esercizio 2

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})=\left(y z^{2},-3 y^{2} z, x\right)\]

attraverso la superficie

\[S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad x=3 y^{2}+z^{2}\right\}\]

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Esercizio 3

Calcolare

\[\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad x \leq 1\right\}\]

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Esercizio 4

Determinare gli estremi relativi della funzione definita dalla legge

\[f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x .\]

Trovare poi, se esistono, gli estremi assoluti nell'insieme

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9} \leq 1\right\} .\]

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Esercizio 5

Data la successione di funzioni

\[\left\{\frac{(x-n)^{4}}{(x-n)^{4}+4}\right\}\]

i) studiare la convergenza puntuale e uniforme in \(\mathbb{R}\);

ii) determinare gli intervalli in cui essa converge uniformemente.

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