Esame del 15 luglio 2019

15 luglio 2019

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Esercizio 1

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x e^{-z}, z^{2} x, x y^{3}\right)\]

attraverso il dominio

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2}+z \leq 2, \quad z \geq x^{2}+y^{2}\right\}\]

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Esercizio 2

Data la forma differenziale

\[\omega(x, y)=\frac{x-1}{(1-x)^{2}+y^{6}} \mathrm{~d} x+\frac{3 y^{5}}{(1-x)^{2}+y^{6}} \mathrm{~d} y\]

calcolare

\[\int_{\gamma} w\]

essendo \(\gamma\) la curva che ha per sostegno l'arco di circonferenza \(x^{2}+y^{2}-2 x=0\) di estremi \((0,0)\) e \((2,0)\) percorso nel verso antiorario.

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Esercizio 3

Data la funzione funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=4 x^{2} y+y^{3}-4 y\]

determinarne gli estremi relativi in \(\mathbb{R}^{2}\).

Determinarne poi gli estremi assoluti, se esistono, nel cerchio chiuso di centro l'origine e raggio 4 .

Stabilire, infine, se \(f\) è limitata in \(\mathbb{R}^{2}\).

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Esercizio 4

Studiare, al variare del parametro reale \(\alpha>0\) la continuità e la differenziabilità in \((0,0)\) della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} |x|^{\alpha} \frac{\sin y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.\]

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