Esame del 9 settembre 2019

Esercizio 1

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x y z, y z, z^{2}\right)\]

attraverso la superficie

\[S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad z=x y, \quad x^{2}+y^{2} \leq 20, \quad y \geq x^{2}\right\}\]

orientata con la normale verso l'alto.

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Esercizio 2

Per ogni \(n \in \mathbb{N}\) sia \(f_{n}\) la funzione definita dalla legge

\[f_{n}(x)=n^{2} x^{3} e^{-n x^{2}} \quad \forall x \in \mathbb{R} \text {. }\]

Studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni \(\left\{f_{n}\right\}\) e determinare gli intervalli di \(\mathbb{R}\) in cui essa converge uniformemente.

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Esercizio 3

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\left(x^{2}-4 y^{2}\right) e^{-x^{2}-y^{2}}\]

i) determinare gli estremi relativi in \(\mathbb{R}^{2}\);

ii) determinare gli estremi assoluti nell'insieme

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leq 1\right\} .\]

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Esercizio 4

Calcolare

\[\iiint_{D}|x y| z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}\]

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