Esame del 30 settembre 2019

Università degli Studi di Catania
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di Analisi Matematica 2
30 settembre 2019

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Esercizio 1

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x, y, z^{2}\right)\]

uscente dalla frontiera del dominio

\[T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}:-1 \leq z \leq-x^{2}-y^{2}\right\}\]

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Esercizio 2

Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale

\[\omega(x, y)=\left[1-\frac{y}{x}\right] e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} y\]

lungo la curva \(\varphi(t)=\left(2+\cos \left(\pi t^{2}\right), 1+t^{2}\right), t \in[0,1]\) orientata nel verso delle \(t\) crescenti.

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Esercizio 3

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+4 z^{2}+y z-2 x\]

i) determinare gli estremi relativi in \(\mathbb{R}^{3}\);

ii) determinare gli estremi assoluti nell'insieme

\[X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, \quad x \geq 0\right\}\]

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Esercizio 4

Calcolare

\[\iint_{D} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\]

essendo

\[D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad x^{2}+y^{2} \leq 9, \quad 0 \leq x \leq y\right\} .\]

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