Esame del 16 dicembre 2019

16 dicembre 2019

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Esercizio 1

(1) Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{3}, y^{3}+z^{3}, z\right)\]

uscente dal solido \(E \subseteq \mathbb{R}^{3}\) delimitato dal piano \(z=0\) e dalle superfici

\[\begin{gathered} \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x+2\right\} \\ \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}=1\right\} \end{gathered}\]

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(2) Determinare per quali valori del parametro reale \(k\) il campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(-\frac{k}{1+y^{2}}+4 x, \frac{2 x y}{\left(1+y^{2}\right)^{2}}\right)\]

è conservativo. Per tali valori di \(k\) calcolare il lavoro compito da \(\mathbf{F}\) lungo la curva \(\varphi(t)=(1+\cos t, \sin t), t \in[0, \pi]\) orientata nel verso delle \(t\) crescenti.

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(3) Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}-3\left(x^{2}+y^{2}\right)+4\]

determinarne gli estremi assoluti, se esistono, nell'insieme

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad x^{2}+y^{2} \leq 4, \quad x \geq 0\right\}\]

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(4) Data la funzione definita dalla legge

\[\begin{cases}\sin x \frac{e^{x y}-1}{\sqrt{x}^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq 0 \\ 0 & \text { se }(x, y)=0\end{cases}\]

i) studiarne la continuità in \(\mathbb{R}^{2}\);

ii) calcolarne, se esistono, le derivate parziali prime nel punto \((0,0)\);

iii) studiarne la differenziabilità nel punto \((0,0)\).

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(5) Calcolare

\[\iiint_{D}(z+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2} \leq(z-9)^{2}, \quad 0 \leq z \leq 3\right\} .\]

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