Esame del 17 febbraio 2020

Anno Accademico 2019-2020
Corso di Laurea in Fisica (L-30)
Prova scritta di Analisi Matematica 2 (9 CFU)
17 febbraio 2020

Esercizio 1↵

1 Determinare gli eventuali estremi relativi ed assoluti della funzione reale \(f\) definita dalla legge

\[f(x, y)=e^{\left(y-x^{2}\right)\left(y-4 x^{2}\right)} .\]

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Esercizio 2↵

2 Calcolare il seguente integrale triplo:

\[\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z\]

dove

\[D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad x^{2}+y^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2}+z \geq 1, z \leq 3\right\} .\]

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Esercizio 3↵

3 Determinare per quale valore del parametro reale \(k\) il campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(\frac{x}{x+y}+\log (x+y), \frac{x+k}{x+y}\right)\]

è conservativo. Per tale valore di \(k\) calcolare il potenziale che si annulla nel punto \((0,1)\). .

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Esercizio 4↵

4 Determinare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x, z^{2}, y^{2} z\right)\]

attraverso la superficie di equazione cartesiana

\[z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\]

e orientata con la normale verso l'alto.

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