Esame del 21 giugno 2021

Anno Accademico 2020/21
Prova scritta di Analisi Matematica 2
21 giugno 2021
Durata: 3 ore
Gli studenti che hanno superato la prova intermedia sono tenuti a svolgere solo gli esercizi 3,4 e 5.

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Esercizio 1

Provare che la serie di funzioni

\[\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^{2}} \sin \left(n^{2} x\right)\]

converge uniformemente in \(\mathbb{R}\). Detta \(f\) la sua funzione somma

i) provare che \(f\) è dotata di derivata seconda in \(\mathbb{R}\);

ii) provare che \(f\) è dotata di derivata di ogni ordine in \(\mathbb{R}\).

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Esercizio 2

Studiare la continuità, l'esistenza delle derivate parziali prime e la differenziabilità nel punto \((0,0)\) della funzione reale di due variabili reali definita dalla legge

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{2 y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+2 y^{2}-x & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\ -1 & \text { se } & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right.\]

Determinare, se esistono, gli estremi assoluti nell'insieme

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, x \geq 0, y \geq 0\right\} .\]

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Esercizio 3

Calcolare il lavoro del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(\frac{3 x}{x^{2}+y^{2}+1},-\frac{3 y}{x^{2}+y^{2}+1},\right)\]

lungo la frontiera del dominio

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1,|y| \leq x\right\}\]

percorsa in senso antiorario. \(\mathbf{F}\) è conservativo?

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Esercizio 4

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{2} y, y x^{2}, x y z\right)\]

attraverso la frontiera del dominio

\[T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 2-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} .\]

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Esercizio 5

Determinare la soluzione del problema di Cauchy

\[\left\{\begin{array}{l} x^{3} y^{\prime \prime \prime}-2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=x^{3} \log x \\ y(1)=1 \\ y^{\prime}(1)=y^{\prime \prime}(1)=0 \end{array}\right.\]

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