Esame del 12 luglio 2021

Anno Accademico 2020/21
Prova scritta di Analisi Matematica 2
12 luglio 2021
Durata: 3 ore
Gli studenti che hanno superato la prova intermedia sono tenuti a svolgere solo gli esercizi 3,4 e 5.

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Esercizio 1

Data la successione di funzioni

\[\left\{e^{-n^{2}} \log \left(n^{2} x\right)\right\}\]

i) studiarne la convergenza uniforme negli intervalli \(] 0,+\infty[\) e \(] 0,1]\);

ii) determinare, se esistono, tutti gli intervalli \(I \subseteq] 0,+\infty\) [ in cui la convergenza è uniforme.

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Esercizio 2

Determinare gli eventuali estremi relativi ed assoluti della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\sqrt{\frac{1+y^{2}+|x|}{x+1}}\]

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Esercizio 3

Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale

\[\omega(x, y)=\left(e^{y}-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^{2}} e^{-\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x+e^{y-\frac{1}{x}} \mathrm{~d} y .\]

lungo la curva \(\varphi(t)=(1+\cos t, \sin t), \quad t \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]\) percorsa nel verso delle \(t\) crescenti.

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Esercizio 4

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{2} y, y x^{2}, x y z\right)\]

uscente dal dominio

\[T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad x^{2}+y^{2}-x \leq 0, \quad y \geq 0\right\} .\]

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Esercizio 5

Calcolare il seguente integrale doppio

\[\iint_{X} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}\left(1+e^{-\frac{y}{x}}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\]

essendo

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1, \quad 0 \leq y \leq-x\right\}\]

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