Esame del 6 settembre 2021

Anno Accademico 2020/21
Prova scritta di Analisi Matematica 2
6 settembre 2021
Durata: 3 ore

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Esercizio 1

Data la successione di funzioni

\[\left\{n^{4} x^{3} e^{-n^{2} x}\right\}\]

i) studiarne la convergenza uniforme nell' intervallo \([0,+\infty[\);

ii) studiare la convergenza uniforme nell' intervallo \([0,+\infty[\) della serie

\[\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) \text {. }\]

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Esercizio 2

Determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x y(y+x-x y-1)\]

nell'insieme

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad x^{2}+y^{2} \leq x\right\}\]

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Esercizio 3

Calcolare il lavoro del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{3}+y^{4}, x^{4}+y^{3}\right)\]

lungo la curva di equazione cartesiana \(x^{2} / 4+y^{2}=1\), percorsa in verso antiorario. \(\mathbf{F}\) è conservativo?

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Esercizio 4

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{2}, y^{2}, 1-z\right)\]

attraverso la superficie

\[S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x^{2}+y^{2}, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}\]

orientata con la normale verso l'alto.

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Esercizio 5

Calcolare il seguente integrale

\[\iiint_{X}|x y| z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}\]

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