Esame del 27 settembre 2021

Anno Accademico 2020/21
Corso di Laurea in Fisica (L-30)
Prova scritta di Analisi Matematica 2
27 settembre 2021
Durata: 3 ore

Esercizio 1↵

1 Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\left(|x|-y^{2}\right) \exp (-x)\]

i) studiare l'esistenza delle derivate parziali prime in tutti i punti del suo dominio;

ii) determinare gli eventuali punti di estremo relativo;

iii) stabilire, motivando la risposta, se la funzione è limitata.

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Esercizio 2↵

2 Determinare \(a\) e \(b\) in modo che il campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(a x \log z, b y^{2} z, y^{3}+\frac{x^{2}}{z}\right)\]

sia conservativo. Per tali valori di \(a\) e \(b\) calcolare il potenziale che si annulla nel punto \((1,1,1)\).

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Esercizio 3↵

3 Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{2}, x y, z\right)\]

uscente dal tetraedro di vertici \((0,0,0),(2,0,0),(0,1,0)\) e \((0,0,1)\).

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Esercizio 4↵

4 Calcolare il seguente integrale

\[\iint_{X} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\]

essendo

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 2 x, \quad x \geq \frac{3}{2}, \quad y \leq 0\right\}\]

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