Esame del 30 dicembre 2021

Anno Accademico 2020/21
Prova scritta di Analisi Matematica 2
30 dicembre 2021
Durata: 3 ore

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Esercizio 1

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x y^{2} \exp (-|x| y)\]

i) stabilire se è dotata di derivate parziali prime in ogni punto del suo dominio;

ii) determinare gli eventuali punti di estremo relativo;

iii) stabilire se è limitata.

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Esercizio 2

Calcolare il lavoro del campo vettoriale

lungo la curva

\[\mathbf{F}=\left(\frac{2 x}{z}, \frac{2 y}{z},-\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}\right)\]

\[(2 \cos t, 2 \sin t, 3 t), \quad t \in[\pi / 2, \pi]\]

percorsa nel verso delle \(t\) crescenti. \(\mathbf{F}\) è conservativo? In caso affermativo calcolarne un potenziale.

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Esercizio 3

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}, 1\right)\]

attraverso la superficie

\[\left(u \cos v, u \sin v, u^{2}\right), \quad(u, v) \in[1,2] \times[0,2 \pi]\]

orientata con la normale verso l'alto.

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Esercizio 4

Calcolare il seguente integrale

\[\iiint_{X} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z \geq x^{2}+y^{2}, \quad z+2 y-3 \leq 0\right\}\]

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