Esame del 24 gennaio 2022

Anno Accademico 2020/21
Prova scritta di Analisi Matematica 2
24 gennaio 2022
Durata: 3 ore

Esercizio 1↵

Determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\arctan \sqrt{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\]

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Esercizio 2↵

Calcolare il lavoro del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(-y \frac{x^{2}+y^{2}}{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}, x \frac{x^{2}+y^{2}}{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}\right)\]

lungo la curva che ha come sostegno l'arco di iperbole \(x^{2}-y^{2}=1\) di estremi \(A=(2, \sqrt{3})\) e \(B=(2,-\sqrt{3})\) percorsa nel verso che va da \(A\) a \(B\).

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Esercizio 3↵

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(2 x^{3} y,-3 x^{2} y^{2}, z^{2} x^{2}\right)\]

uscente dal dominio

\[X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2\right\}\]

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Esercizio 4↵

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\log n}{n^{2} \sqrt{4^{n}}}(x+1)^{2 n}\]

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