Esame del 14 febbraio 2022

Anno Accademico 2021/22
Prova scritta di Analisi Matematica 2
14 febbraio 2022
Durata: 3 ore

Esercizio 1↵

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=\frac{x|x|}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-y}}\]

determinarne gli eventuali punti di estremo relativo. \(f\) é dotata di estremi assoluti? \(f\) é limitata? Giustificare le risposte.

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Esercizio 2↵

Calcolare

\[\iint_{T} \mathrm{e}^{2(x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\]

essendo \(T\) il dominio piano limitato delimitato dalle rette di equazione \(y=x, y=x-2, y=-x\) e \(y=-x+2\).

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Esercizio 3↵

Siano \(D=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2}: \quad 2 u \leq u^{2}+v^{2} \leq 1\right\}\) ed \(S\) la superficie di equazioni parametriche

\[\left\{\begin{array}{l} x=u+v \\ y=u-v \\ z=u^{3} \end{array} \quad(u, v) \in D .\right.\]

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x^{2}-y^{2}, 0,\left(x^{2}-y^{2}\right)(x+y)^{2}\right)\]

attraverso la superficie \(S\) orientata con la normale verso l'alto.

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Esercizio 4↵

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n|x| \arctan \left(x^{3}\right)}{1+n^{3}|x|^{3}}\]

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