Esame del 14 aprile 2022

Anno Accademico 2021/22
Prova scritta di Analisi Matematica 2
14 aprile 2022
Durata: 3 ore

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Esercizio 1

Data la funzione definita dalla legge

\[f(x, y)=x y^{4}-\arctan x y\]

i) determinare gli eventuali punti di estremo relativo e assoluto;

ii) stabilire se è limitata. Giustificare la risposta.

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Esercizio 2

Calcolare il lavoro del campo vettoriale

lungo la curva

\[\mathbf{F}=\left(\frac{x}{\sqrt{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}, \frac{y}{\sqrt{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}\right)\]

\[\left(3 t^{2}-\sin (\pi t), \cos (\pi t)\right), \quad t \in[0,1]\]

percorsa nel verso delle \(t\) crescenti.

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Esercizio 3

Calcolare il flusso del campo vettoriale

\[\mathbf{F}=\left(x+\cos y, z+y^{2}, z+\sin y,\right)\]

uscente dal dominio

\[T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z \leq 3, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad z \geq 0\right\} .\]

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Esercizio 4

Calcolare il seguente integrale

\[\iint_{X} \frac{x^{3} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\]

essendo

\[X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \geq 1, \quad 0 \leq \frac{\sqrt{3}}{3} y \leq x \leq y, \quad x \leq 2\right\}\]

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Esercizio 5

Studiare la convergenza puntuale e uniforme in \(\mathbb{R}\) della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin \frac{x}{n}}{2+n}\]

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