Esame del 13 Dicembre 2017

Corso di Laurea in Fisica
Compito scritto di Fisica Generale I
M.G. Grimaldi – A. Insolia
3 ore a disposizione

Problema n.1↵

Un corpo puntiforme di massa \(m_1=1.0 \; kg\) poggia sul tratto orizzontale di una guida e viene lanciato orizzontalmente, con velocità \(v_0\), verso un secondo corpo di massa \(m_2=2.0 \; kg\) che è posto in quiete all'inizio del tratto curvo della guida. Tale tratto finisce ad una quota \(h_0=1.0 \; m\) con una pendenza rispetto all'orizzontale pari a θ=45°.

Sapendo che dopo l'urto il corpo che prosegue verso destra raggiunge la sommità della guida e ricade al suolo ad una distanza d=2.0 m da essa, determinare il modulo di \(v_0\) a seconda che l'urto sia:

perfettamente elastico;
completamente anelastico.

[Trascurare ogni tipo di attrito]

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Soluzione ufficiale

Questa soluzione è la trascrizione della risoluzione effettuata da un docente

Dividiamo il problema in tre fasi che analizzeremo nel seguente ordine:

moto parabolico tra il punto C e il punto D
principio di conservazione dell'energia tra il punto B e il punto C
urto dei due corpi tra il punto a e il punto B

Moto parabolico↵

Conosciamo l'angolo che la velocità tangenziale forma con l'asse x che è proprio \(\theta=45°\) impostiamo in un sistema le equazioni del moto.

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=(v_c \cdot cos\theta)\cdot t \\ y(t)=h_0+(v_c \cdot sin\theta) \cdot t \end{array} \right.\]

Nel sistema di riferimento scelto x(t) è d, per cui possiamo scrivere:

\[d=(v_c \cdot cos\theta)\cdot t\]

e legare questa relazione la tempo di volo in modo da ottenere:

\[t=\frac{d}{v_c cos\theta}\]

Ma se x=d (d punto di caduta al suolo) allora la y=0 quindi possiamo impostare l'equazione:

\[v_c=\sqrt{\frac{gd^2}{h_0+d}}=\sqrt{\frac{9,8 \cdot 2^2}{1+2}}=3,61 m/s\]

Conservazione dell'energia↵

a questo punto studiamo entrambi i casi di urto elastico e completamente anelastico utilizzando i principi di conservazione dell'energia.

Se l'urto è elastico il corpo uno può fare due cose, a priori per ora non possiamo sapere quale. O continua ad andare avanti dopo aver urtato il corpo due, o torna indietro. A prescindere comunque il corpo che raggiunge per primo il punto C sarà il corpo due quindi possiamo scrivere il principio di conservazione dell'energia direttamente per il corpo due.

\[\frac{1}{2} m_2 v^2_{2B}=\frac{1}{2}m_2v^2_c+mgh_o\]

da cui possiamo ricavare il valore di \(v_{2B}\)

\[v_{2B}=\sqrt{v^2_c+2gh_0}=\sqrt{(3,61)^2+2\cdot 9,8 \cdot 1}=5,71 m/s\]

A questo punto per trovare \(v_0\) impostiamo un sistema con la conservazione della quantità di moto (prima equazione) e la conservazione dell'energia cinetica (seconda equazione)

\[\left\{\begin{array}{c} m_1\cdot v_0+0=m_1\cdot v_{1,f}+m_2\cdot v_{2B} \\ m_1\cdot v^2_0+0=m_1\cdot v^2_{1,f}+m_2\cdot v^2_{2B} \end{array}\right.\]

n.b: nella seconda equazione i fattori \(\frac{1}{2}\) sono stati semplificati risolvendo il sistema troviamo:

\[v_0=\frac{m_1+m_2}{2m_1}\cdot v_{2,B}=8,56\]

Se invece l'urto è completamente anelastico, sarà il corpo di massa \(m_1+m_2\) a raggiungere il punto C. Torno al principio di conservazione dell'energia tra B e C:

\[\frac{1}{2}(m_1+m_2)\cdot v^2_{1+2}=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\cdot v^2_{c}+(m_1+m_2)gh_0\]

da cui ricaviamo:

\[v_{1+2}=\sqrt{v^2_c+2gh_0}=5,71 m/s\]

Uguale a prima perchè le masse si semplificano, ricordiamo che siamo in assenza di attrito.

La differenza invece si troverà al momento dell'urto, perchè nell'urto non vale il principio di conservazione dell'energia cinetica. Dobbiamo trovare la velocità dell'oggetto uno prime dell'urto.

Scriviamo allora per quanto riguarda la quantità di moto:

\[m_1 \cdot v_0 +0=(m_1+m_2) \cdot v_{1+2}\]

da cui possiamo ricavare

\[v_0=\frac{m_1+m_2}{m_1} \cdot v_{1+2}= 17,13 m/s \]

Il valore di v0 rispetto al caso dell'urto elastico è più grande. Questo avviene perchè nel caso anelastico si perde energia durante l'urto, quindi per proseguire il moto in maniera uguale il corpo dovrà avere un' energia cinetica più alta al momento dell'urto.

Questa soluzione è stata fornita da Lucia Romano

Problema n.2↵

Un corpo di massa m=1.0 kg, dopo essere scivolato lungo il piano inclinato di figura, urta orizzontalmente un’asta rigida (sottile) verticale di massa M=10.0 kg e lunghezza l=1.0 m. Lo scivolo ha un’altezza h=50 cm e l’asta è appesa per un suo estremo intorno al quale può ruotare liberamente (vedi figura).

Sapendo che l’urto tra corpo e asta è completamente anelastico, determinare la velocità iniziale \(v_0\) con il quale il corpo deve essere lanciato affinché, dopo l’urto, l’asta ruoti di un angolo massimo pari a π/2.

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Problema n.3↵

Un recipiente contiene mercurio liquido (densità \(ρ_m=1.36×10^4 \; kg/m^3\)) e su di esso galleggia un pezzo di ferro (densità \(ρ_f=7.66×10^3 \; kg/m^3\)) con un volume emerso pari a \(V_e= 3.2 \; cm^3\).

Si determini la massa m del pezzo di ferro.
Lo stesso pezzo di ferro viene poi lasciato cadere verticalmente all’interno di un fluido (olio con densità \(ρ_o=9.20×10^2 \; kg/m^3\)) tale che esso risenta, oltre alla forza peso e alla spinta di Archimede, di una forza di attrito proporzionale alla sua velocità v, \(\vec{F}= -k \vec{v}\) con \(k=1.71×10^{-2} \; N×s/cm\). Si determini la velocità del moto di caduta rettilineo uniforme del pezzo di ferro nell’olio.

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Problema n.4↵

Una macchina reversibile ideale usa una quantità m=28 g di azoto (da trattarsi come gas ideale) come sostanza di lavoro in un ciclo di Carnot A → B → C → D → A . La temperatura della sorgente più calda è \(T_1=400 \; K\), mentre quella della sorgente più fredda è \(T_2=300 \; K\). Il volume del gas nello stato A è \(V_A=6 \; l\) e nello stato C è \(V_C=18 \; l\). Calcolare:

il volume \(V_B\);
la quantità di calore \(Q_1\) scambiata nella isoterma a temperatura \(T_1\);
Il rendimento del ciclo;
la quantità di calore \(Q_2\) scambiata nella isoterma a temperatura \(T_2\);
il volume \(V_D\);
la variazione di entropia del gas nelle due isoterme.

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