Compito del 9 Luglio 2021
Corso di laurea in Fisica
Prova scritta di Geometria del 9 Luglio 2021
Compito B
Esercizio 1↵
Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{4}\) sono assegnati i vettori \(v_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\).
Sia \(V\) il sottospazio \(V=\operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{2}\right\}\).
Dopo aver verificato che \(i\) vettori \(v_{1}, v_{2}, v_{3}\) sono linearmente indipendenti sia \(f_{k}: V \longrightarrow \mathbb{R}^{4}\) la famiglia di applicazioni lineari definita dalle seguenti assegnazioni
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Calcolare nucleo ed immagine di \(f: V \longrightarrow \mathbb{R}^{4}\) al variare di \(k \in \mathbb{R}\).
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Calcolare le equazioni cartesiane di \(V\).
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Determinare per quale valore di \(k f\) induce un endomorfismo da \(V\) in \(V\), i.e. \(i m f \subseteq V\).
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Verificare che per \(k=2\) l'applicazione \(f\) induce un endomorfismo.
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Fissata una base \(\mathcal{B} \subseteq V\), calcolare la matrice associata all'endomorfismo \(f_{\mid V}\). Studiare l'endomorfismo così ottenuto.
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Esercizio 2↵
Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{3}\) sono assegnati i vettori \(u_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), v_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 h \\ h-2\end{array}\right), v_{2}=\) \(\left(\begin{array}{c}h-1 \\ h \\ 0\end{array}\right)\)
Siano \(U, V \subseteq \mathbb{R}^{3}\) i sottospazi \(U:=\operatorname{span}\left\{u_{1}, u_{2}\right\}\) e \(V:=\operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}\right\}\)
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Enunciare la Formula di Grassmann.
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Calcolare le dimensioni di \(U, V, U+V, U \cap V\)
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Calcolare, al variare di \(h \in \mathbb{R}\), basi ed equazioni cartesiane dei sottospazi \(U, V, U+V, U \cap V\).
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Dire per quali valori di \(h \in \mathbb{R}\) si ha \(U+V=U \oplus V=\mathbb{R}^{3}\).
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Esercizio 3↵
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).
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Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per asintoti le rette \(r: x+2 y-3=0\) ed \(s: x-2 y+1=0\) e passante per il punto \(P(1,3)\)
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Trovare assi e centro di simmetria dell'iperbole ottenuta.
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Disegnare l'iperbole ottenuta.
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Esercizio 4↵
Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y z\).
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Trovare e studiare il luogo \(\mathcal{Q}\) dei punti dello spazio equidistanti dal punto \(F(1,-1,0)\) e dal piano \(\pi: x+z+2=0\).
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Verificare che il luogo è una quadrica e dire di che quadrica si tratta.
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Studiare le sezioni della quadrica \(Q\) con i piani ortogonali all'asse \(\vec{z}\).
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