Compito del 9 Luglio 2021

Corso di laurea in Fisica
Prova scritta di Geometria del 9 Luglio 2021
Compito B

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Esercizio 1

Nello spazio vettoriale ${\mathbb{R}}^4$ sono assegnati i vettori $v_1=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Sia $V$ il sottospazio $V=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_2\}$.

Dopo aver verificato che $i$ vettori $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti sia $f_k:V⟶{\mathbb{R}}^4$ la famiglia di applicazioni lineari definita dalle seguenti assegnazioni

$$f\left(v_1\right)=(0,2k-4,2,2-k)$$

$$f\left(v_2\right)=(k-1,k-1,2,0)$$

$$f\left(v_3\right)=(k-2,0,2,2)$$

• Calcolare nucleo ed immagine di $f:V⟶{\mathbb{R}}^4$ al variare di $k\in \mathbb{R}$.

• Calcolare le equazioni cartesiane di $V$.

• Determinare per quale valore di $kf$ induce un endomorfismo da $V$ in $V$, i.e. $imf\subseteq V$.

• Verificare che per $k=2$ l'applicazione $f$ induce un endomorfismo.

• Fissata una base $\mathcal{B}\subseteq V$, calcolare la matrice associata all'endomorfismo $f_{\mid V}$. Studiare l'endomorfismo così ottenuto.

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Esercizio 2

Nello spazio vettoriale ${\mathbb{R}}^3$ sono assegnati i vettori $u_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),u_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 0\end{array}\right),v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2h\\ h-2\end{array}\right),v_2=$ $\left(\begin{array}{c}h-1\\ h\\ 0\end{array}\right)$

Siano $U,V\subseteq {\mathbb{R}}^3$ i sottospazi $U:=\mathrm{span}\{u_1,u_2\}$ e $V:=\mathrm{span}\{v_1,v_2\}$

• Enunciare la Formula di Grassmann.

• Calcolare le dimensioni di $U,V,U+V,U\cap V$

• Calcolare, al variare di $h\in \mathbb{R}$, basi ed equazioni cartesiane dei sottospazi $U,V,U+V,U\cap V$.

• Dire per quali valori di $h\in \mathbb{R}$ si ha $U+V=U\oplus V={\mathbb{R}}^3$.

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Esercizio 3

Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $Oxy$.

• Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per asintoti le rette $r:x+2y-3=0$ ed $s:x-2y+1=0$ e passante per il punto $P(1,3)$

• Trovare assi e centro di simmetria dell'iperbole ottenuta.

• Disegnare l'iperbole ottenuta.

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Esercizio 4

Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $Oxyz$.

• Trovare e studiare il luogo $\mathcal{Q}$ dei punti dello spazio equidistanti dal punto $F(1,-1,0)$ e dal piano $\pi :x+z+2=0$.

• Verificare che il luogo è una quadrica e dire di che quadrica si tratta.

• Studiare le sezioni della quadrica $Q$ con i piani ortogonali all'asse $\overrightarrow{z}$.

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