Esame del 9 Settembre 2021
Prova scritta di Geometria del 9 Settembre 2021
Compito B
Scrivere il proprio nome e cognome a stampatello nelle prime righe del foglio utilizzato per lo svolgimento.
Consegnare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile.
Giustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.
Esercizio 1↵
Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\) è assegnato l'endomorfismo \(f: \mathbb{R}^{2 \times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}\) definito dalla seguente posizione
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Descrivere la base standard di \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\)
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Calcolare basi ed equaizoni cartesiane di nucleo ed immagine di \(f\).
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Calcolare la matrice associata ad \(f\) rispetto alla base standard di \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\)
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Calcolare autovalori ed autovettori di \(f\) e dire se \(f\) è semplice.
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Esercizio 2↵
Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{4}\) è assegnata la famiglia di sottospazi
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Calcolare la dimensione e una base al variare di \(k \in \mathbb{R}\).
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Determinare una base e un insieme di equazioni cartesiane di \(V_{k}^{\perp}\) al variare di \(k \in \mathbb{R}\).
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Trovare il sottospazio \(\bigcap_{k \in \mathbb{R}} V_{k}\), ovvero l'intersezione di tutti i sottospazi \(V_{k}\) al variare di \(k \in \mathbb{R}\)
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Esercizio 3↵
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).
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Scrivere l'equazione del fascio di coniche aventi un vertice nel punto \(A(2,1)\) ed un asse di simmetria coincidente con la retta \(r: x+y-1=0\)
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Studiare il fascio cosi ottenuto.
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Trovare la conica \(\mathcal{C}\) del fascio passante per il punto \(P(6,1)\) e dire di che conica si tratta.
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Disegnare la conica \(\mathcal{C}\) così ottenuta.
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Esercizio 4↵
Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y z\).
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Studiare la quadrica di equazione \(x^{2}-2 y^{2}+z^{2}+x z-2 x+y=0\)
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Trovare il piano tangente alla quadrica nell'origine.
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Studiare le sezioni della quadrica \(\mathcal{Q}\) con i piani del fascio \(y=k x\).
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