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Esame del 24 Settembre 2021

Corso di laurea in Fisica
Prova scritta di Geometria del 24 Settembre 2021
Compito B

Scrivere il proprio nome e cognome a stampatello nelle prime righe del foglio utilizzato per lo svolgimento.
Consegnare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile.
Giustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.

Esercizio 1↵

Indicato con \(\mathbb{R}^{2,2}\) lo spazio vettoriale delle matrici \(2 \times 2\) a coefficienti reali, sia \(A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\). Sia \(\phi_{A}: \mathbb{R}^{2,2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2,2}\) l'applicazione definita dalla seguente posizione

\[\phi_{A}(X):=X \cdot A \quad \operatorname{con} X \in \mathbb{R}^{2,2}\]

  • Verificare che \(\phi_{A}\) è lineare.

  • Calcolare nucleo ed immagine di \(\phi_{A}\).

  • Calcolare la matrice associata a \(\phi_{A}\) rispetto ad una base di \(\mathbb{R}^{2,2}\).

  • Calcolare autovalori ed autovettori di \(\phi_{A}\).

  • Dire se \(\phi_{A}\) è semplice.

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Esercizio 2↵

Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{4}\) sono assegnati i sottospazi vettoriali

\[\begin{aligned} V_{k} & =\{(x, y, z, t): x+(1-k) y-2 k z-t=0\} \\ W_{k} & =\operatorname{span}\{(2,1-k, 1,0),(k-2,-1,-1, k)\} \end{aligned}\]

  • Calcolare, al variare \(\operatorname{di} k \in \mathbb{R}: \operatorname{dim} V_{k}, \operatorname{dim} W_{k}, \operatorname{dim} V_{k}+W_{k}\) e \(\operatorname{dim} V_{k} \cap W_{k}\)

  • Descrivere, con una base o le equazioni cartesiane, i sottospazi \(V_{k}+W_{k}\) e \(V_{k} \cap W_{k}\)

  • Trovare, se esistono, quei valori di \(k \in \mathbb{R}\) tali che \(V_{k}+W_{k}=V_{k} \oplus W_{k}\)

  • Calcolare il sottospazio intersezione degli infiniti sottospazi \(V_{k}\), ovvero \(\bigcap_{k \in \mathbb{R}} V_{k}\).

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Esercizio 3↵

Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

  • Determinare l'equazione dell'iperbole \(\mathcal{I}\) passante per l'origine ed avente per asintoti le rette \(r: x+2 y+1=0\) e \(s: x+y-1=0\)

  • Trovare centro ed assi di simmetria di \(\mathcal{I}\).

  • Disegnare l'iperbole.

  • Trovare una forma canonica dell'iperbole.

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Esercizio 4↵

Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

Data la retta \(r: x-z-1=2 x+y-1=0\), calcolare la proiezione \(\sigma: \mathbb{E}^{3} \longrightarrow \mathbb{E}^{3}\) del punto \(A(1,2,0)\) sulla retta \(r\).

  • Calcolare le equazioni della proiezione rispetto alla retta \(r\).

  • Trovare la controimmagine del punto \(A\) rispetto alla \(\sigma\), ovvero:

\[\sigma^{-1}(A):=\left\{P \in \mathbb{E}^{3}: \sigma(P)=A\right\}\]
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Immagine del compito