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Esame del 28 Gennaio 2022

Prova scritta di Geometria del 28 Gennaio 2022
Compito B

Scrivere il proprio nome e cognome a stampatello nelle prime righe del foglio utilizzato per lo svolgimento.
Consegnare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile.
Giustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.

Esercizio 1↵

In \(\mathbb{R}^{4}\) si consideri il sottospazio \(V\) generato dai vettori \(v_{1}=(1,0,0,3), v_{2}=(0,1,0,-1), v_{3}=\) \((0,0,1,-1)\) e sia \(f: V \rightarrow \mathbb{R}^{4}\) la famiglia di applicazioni lineari definita dalle seguenti assegnazioni:

\[\begin{aligned} & f\left(v_{1}\right)=(1, k+1, k+1,1-2 k) \\ & f\left(v_{2}\right)=(0,0,-k, k) \\ & f\left(v_{3}\right)=(0,-k, 0, k) \end{aligned}\]

  1. Calcolare la dimensione di \(V\) e le equazioni cartesiane di \(V\) rispetto alla base canonica di \(\mathbb{R}^{4}\).

  2. Calcolare, al variare di \(k \in \mathbb{R}\), nucleo ed immagine di \(f: V \rightarrow \mathbb{R}^{4}\).

  3. Verificare che per ogni \(k \in \mathbb{R}\) l'applicazione \(f\) induce un endomorfismo \(f_{\mid V}: V \rightarrow V\), ovvero \(f(V)=\operatorname{Im} f \subseteq V\).

  4. Calcolare la matrice associata ad \(f_{\mid V}\) rispetto ad una base di \(V\).

  5. Calcolare autovalori ed autovettori di \(f_{\mid V}\). Verificare che \(f_{\mid V}\) è semplice per ogni \(k \in \mathbb{R}\)

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Esercizio 2↵

Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{3,3}\) si considerino i sottoinsiemi \(U=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{3,3} \mid a_{i j}=0\right.\) per \(\left.i>j\right\}\) e \(W=\left\{B=\left(b_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{3,3} \mid b_{i j}=0\right.\) per \(\left.i<j\right\}\)

  1. Verificare che \(U\) e \(W\) sono sottospazi di \(\mathbb{R}^{3,3}\) e calcolarne la dimensione.

  2. Mostrare una base di \(U\) e una di \(W\).

  3. Calcolare \(U+W\) e \(U \cap W\).

  4. Dire se \(U+W=\mathbb{R}^{3,3}\) e se tale somma è diretta,

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Esercizio 3↵

Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).

  1. Costruire il fascio di iperboli aventi per asintoti l'asse delle \(\vec{x}\) e la retta \(r: 2 x-y=0\).

  2. Trovare l'equazione dell'iperbole \(\gamma\) passante per il punto \(A(1,1)\).

  3. Trovare centro e assi di simmetria di \(\gamma\) e disegnarla. Trovare una forma canonica di \(\gamma\)

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Esercizio 4↵

Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y z\).

Siano \(r_{1}, r_{2}, r_{3}\) le rette di equazioni

\[\begin{array}{l} r_{1}:\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y+z=0 \\ x+2 y+1=0 \end{array} \right. \\ \\ r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x-z=0 \\ x-y-2=0 \end{array} \right. \\ \\ r_{3}:\left\{\begin{array}{l} 2 k x+3 y+3-2 k=0 \\ x+3 z-4=0 \end{array} \quad \right. \\ \\ \text { con } k \in \mathbb{R} \end{array}\]

  1. Determinare il valore di \(k\) per cui le rette sono complanari.

  2. Per tale valore di \(k\) calcolare l'equazione del piano che le contiene.

  3. Dire in che posizione reciproca si trovano le rette \(r_{1}, r_{2}\) ed \(r_{3}\).

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Immagine del compito