Esame del 25 Febbraio 2022
Corso di laurea in Fisica
Prova scritta di Geometria del 25 Febbraio 2022
Compito B
Scrivere il proprio nome e cognome a stampatello nolle primo righe del
Consegnare utilizzato per lo svolgimento.
Giustificare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile.
Qiustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.
Esercizio 1↵
Indicato con \(\mathbb{R}[x]_{\leq 2}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\leq 2\), sia \(p(x) \in \mathbb{R}\left[\left.x\right|_{\leq 2}\right.\) e \(p^{\prime}(x)\) la sua derivata.
Sia \(\phi: \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 2}\) l'applicazione definita dalla legge \(\phi(p)=(x \cdot p)^{\prime}+x \cdot p^{\prime}-2 p^{\prime}(0)+(4 x-4) p(0)\).
-
Calcolare nucleo ed immagine di \(\phi\).
-
Calcolare la matrice associata a \(\phi\) rispetto alla base standard di \(\mathbb{R}[x]_{\leq 2}\).
-
Calcolare autovalori ed autovettori di \(\phi\) e dire se è semplice.
Sia \(f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) la famiglia di applicazioni lineari rappresentata dalla seguente matrice
-
Calcolare nucleo ed immagine di \(A\) al variare di \(h \in \mathbb{R}\).
-
Calcolare la dimensione della controimmagine di \((1,2,3)\) al variare di \(h \in \mathbb{R}\), ovvero dell'insieme \(f^{-1}(1,2,3)=\left\{\underline{x} \in \mathbb{R}^{4} \mid A \cdot \underline{x}=(1,2,3)\right\}\).
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Esercizio 3↵
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).
-
Determinare e studiare il fascio \(\mathcal{F}\) delle coniche tangenti in \(O\) all'asse \(y\), e passanti per i punti \(A(1,0), B(1,2)\).
-
Determinare vertice e asse della parabola \(p\) di \(\mathcal{F}\).
-
Disegnare la parabola \(p\).
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Esercizio 4↵
Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(Oxyz\).
Dati la sfera \(S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y+4 z+5=0\), sia \(\gamma = S \cap \pi\) la circonferenza intersezione tra il piano \(\pi\) e la sfera \(S\).
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Trovare il centro \(C\) e il raggio \(\rho\) della sfera \(S\).
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Verificare che la circonferenza \(\gamma\) possiede punti reali.
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Trovare centro r raggio della circonferenza \(\gamma\). Corso di laurea in Fisica
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