Esame del 25 novembre 2022
Prova scritta di Geometria del 25 novembre 2022
Corso di laurea in Fisica
Scrivere il proprio nome e cognome a stampatello nelle prime righe del foglio utilizzato per lo svolgimento. Consegnare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile. Giustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.
Esercizio 1↵
Data \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right)\) consideriamo l'applicazione \(\phi: \mathbb{R}^{2,2} \rightarrow \mathbb{R}^{2,2}\) definita dalla seguente posizione
- Dimostrare che \(\phi\) è lineare.
- Calcolare nucleo ed immagine di \(\phi\).
- Calcolare la matrice associata a \(\phi\) rispetto ad una base di \(\mathbb{R}^{2,2}\).
- Calcolare autovalori ed autovettori di \(\phi\) e dire se \(\phi\) è semplice.
Visualizza le soluzioni
Non ancora disponibili :(
Se sei in possesso delle soluzioni, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Visualizza lo svolgimento
Non ancora disponibile :(
Se sei in possesso dello svolgimento, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Esercizio 2↵
Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^{4}\) sono assegnati i sottospazi \(U=\{(a, a+b, a-b, 2 a+b): a, b \in \mathbb{R}\}\), \(V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: x+y+z-t=0\right\}\)
-
Determinare i sottospazi \(U \cap V\) e \(U+V\) indicandone una base e le equazioni cartesiane.
-
Dire se \(V+V^{\perp}=V \oplus V^{\perp}\).
-
Calcolare basi ed equazioni cartesiane dei sottospazi \(U^{\perp}, V^{\perp},(U \cap V)^{\perp}\).
-
Costruire l'applicazione che associa al generico vettore \(v \in \mathbb{R}^{4}\) la sua proiezione \(\pi_{V}(v)\) sul sottospazio \(V\), ovvero l'applicazione \(\pi_{V}\) tale che \(\pi_{V}(v)=v^{\prime}\) con \(v=v^{\prime}+v^{\prime \prime}\) essendo \(v^{\prime} \in V\) e \(v^{\prime \prime} \in V^{\perp}\).
-
Verificare che \(\pi_{V}\) è lineare. Interpretando \(\pi_{V}\) come un endomorfismo di \(\mathbb{R}^{4}\) calcolarne autovalori ed autovettori.
Visualizza le soluzioni
Non ancora disponibili :(
Se sei in possesso delle soluzioni, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Visualizza lo svolgimento
Non ancora disponibile :(
Se sei in possesso dello svolgimento, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Esercizio 3↵
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).
-
Fissata la retta \(r: 2 x-y+1=0\) e il punto \(F(1,1)\) costruire e studiare il luogo dei punti \(P\) del piano tali che \(\frac{d(P, F)}{d(P, r)}=\sqrt{2}\).
-
Disegnare il luogo trovato.
Visualizza le soluzioni
Non ancora disponibili :(
Se sei in possesso delle soluzioni, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Visualizza lo svolgimento
Non ancora disponibile :(
Se sei in possesso dello svolgimento, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Esercizio 4↵
Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y z\).
-
Verificare che le rette \(r: 3 x+z=x+y=0\) ed \(s: x+y+z-1=x+y+2=0\) sono sghembe e determinare la retta \(\tau\) incidente ed ortogonale ad entrambe.
-
Calcolare la distanza tra le rette \(r\) ed \(s\).
-
Trovare e studiare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dall'asse \(\vec{z}\) e dal piano \(\pi\) : \(x-y+z-1=0\)
Visualizza le soluzioni
Non ancora disponibili :(
Se sei in possesso delle soluzioni, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
Visualizza lo svolgimento
Non ancora disponibile :(
Se sei in possesso dello svolgimento, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.
Leggi di più su come contribuire.
