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Esame del 5 aprile 2023

Prova scritta di Geometria del 5 aprile 2023
Corso di laurea in Fisica
Compito A

Consegnare gli elaborati in una forma ordinata e leggibile. Giustificare i passaggi teorici ritenuti più importanti.

Esercizio 1↵

Indicato con \(\mathbb{R}[x]_{\leq 2}\) lo spazio vettoriale dei polinomi \(p(x)\) a coefficienti reali di grado minore o uguale a due.

Sia \(\phi: \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 2}\) l'applicazione definita dalla seguente legge

\[\phi(p)=(x+2) \cdot p^{\prime}(x)\]

  • Dimostrare che \(\phi\) è un endomorfismo.

  • Calcolare nucleo ed immagine di \(\phi\).

  • Trovare autovalori ed autovettori di \(\phi\), dire se \(\phi\) è diagonalizzabile e in tal caso mostrare una base di autovettori di \(\phi\).

  • Descrivere la matrice di passaggio dalla base canonica \(\mathcal{E}=\left\{x^{2}, x, 1\right\}\) alla base \(\mathcal{A}\) di autovettori.

  • Calcolare la controimmagine del vettore \(2 x^{2}+3 x-2\)

  • Calcolare autovalori ed autovettori dell'endomorfismo \(\phi \cdot \phi\) 1 .

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Esercizio 2↵

Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}[x]_{\leq 3}\) sono assegnati i sottospazi

\[V=\{p \in \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \mid p(0)=p(2) \wedge p(1)=0\} \unlhd \mathbb{R}[x]_{\leq 3}\]
\[W=\operatorname{span}\left\{x^{2}+1, x\right\} \unlhd \mathbb{R}[x]_{\leq 3}\]

  • Calcolare \(\operatorname{dim} V, \operatorname{dim} W, \operatorname{dim} V+W\) e \(\operatorname{dim} V \cap W\)

  • Calcolare basi ed equazioni cartesiane di \(V \cap W\) e \(V+W\).

  • Dire se la somma \(V+W\) è diretta.

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Esercizio 3↵

Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y\).

  • Determina e studia il fascio di coniche passanti per l'origine \(O\) e tangenti all'asse \(\vec{y}\), passanti per \(A(1,0)\) e \(B(1,2)\).

  • Dire se il fascio contiene parabole, iperboli equilatere.

  • Calcolare le tangenti alla parabola del fascio uscenti da \(D(0,-1)\).

  • Trovare vertice e asse di simmetria della parabola.

  • Disegnare la parabola del fascio.

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Esercizio 4↵

Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(O x y z\).

  • Assegnato il piano \(\pi\) di equazione \(\pi: x-2 y-z=0\), calcolare il simmetrico del punto \(P(2,1,-3)\)

  • Calcolare l'espressione della simmetria \(\sigma\) rispetto al piano \(\pi\).

  • Calcolare l'immagine del piano \(\alpha: 2 x+y+z=0\) rispetto alla simmetria \(\sigma\).

  • Calcolare la composizione della simmetria \(\sigma\) con la simmetria centrale di centro \(C(2,3,0)\).

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Immagine del compito

  1. Probabile errore di conversione da imputare al riconoscimento automatico dei caratteri LaTeX ↩