Esame del 27 giugno 2014
Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Meccanica Analitica
Appello del 27.06.2014
Un sistema materiale é costituito da un disco omogeneo \(\Gamma\) di massa \(M\) centro \(G\) e raggio \(r\) e da una circonferenza omogenea \(\gamma\) di centro \(C\) e raggio \(R=r+d\) avente la stessa massa \(M\). Il sistema é vincolato a stare su un piano verticale II liscio, nel quale si é introdotto un sistema di riferimento ortogonale \(\{0, x, y\}\) con l'asse \(y\) verticale ascendente, ed é soggettonax seguenti vincoli: un diametro \(M N\) di \(\gamma\) scorre senza attrito sull'asse delle \(x\),mentre \(\dot{\Gamma} \cdot\) rótola internamente su \(\gamma\), senza strisciare.
Sul sistema, oltre alla forza peso \(M \mathrm{~g}\) agiscóno le vltertori forze
essendo \(\bar{G}\) la proiezione ortogonale di \(G\) sull'asse \(y, H\) il punto della circonferenza \(\gamma\) di massima quota, mentre \(\bar{H}\) é la proiezione ortogonale di \(H\) sull'asse \(y\). Inoltre il piano II é posto in rotazione uniforme attorno alll'asse \(y\) con velocitá angolare \(\omega=\sqrt{\alpha g / d}\) essendo \(\alpha\) una costante reale con la condizione che \(2<\alpha<3\) ed \(\alpha \neq 4-\sqrt{2}\). Si chiede di:
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Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema, studiando in particolare la stabilitá della evidente configurazione di equilibrio \(S_{1}\), in cui \(C\) e \(G\) hanno coordinate rispettivamente \(C=(0,0)\) e \(G=(0,-d)\).
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Determinare le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi.
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Studiare i moti linearizzati attorno alla configurazione di equilibrio \(S_{1}\) confrontando i risultati ottenuti con la stabilitá di \(S_{1}\)
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