Esame del 18 luglio 2014

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Meccanica Analitica
Appello del 18.07.2014

Un sistema materiale, mobile su un piano verticale \(\Pi\), é costituito da un disco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(C\), raggio \(R\) e massa \(M=2 m\) e da un bullone (da considerarsi puntiforme) di massa \(m\), saldato in un punto \(P\) di \(\Gamma\) (si indichi con \(d\) la distanza \(\overline{P C}\), con \(0 \leq d \leq R)\). Il centro \(C\) di \(\Gamma\) é vincolato a scorrere senza attrito su una retta orizzontale \(r\) di \(\pi\).

Sul sistema, oltre alle forze peso, agiscono le due forže '

\(\left\{F_{1}=-k\left(P-P^{*}\right), P\right\} \quad\left\{F_{2}=-h\left(B \quad B^{*}\right), B\right\} \quad\) con \(k>0, \quad h \geq 0\), essendo \(P^{*}\) la proiezione ortogonale di \(P\) su uha retta verticale \(s\) di \(\Pi, B\) l'intersezione del raggio di \(\Gamma\) contenente \(P\) con il bordo di \(\Gamma\) (un punto fissato del bordo di \(\Gamma\) nel caso \(d=0\) ), \(B^{*}\) la proiezione ortogonale di \(B\) su una guida orizzontale \(t\) di \(\Pi\), posta superiormente ad \(r\) e distante \(L\) da essa. Supponendo che i vincoli siano lisci, si chiede di

  1. determinare \(h\) in modo che esistano configurazioni dai equilibrio nelle quali \(B\) sta sulla retta \(r\).

Nella ipotesi di cui al punto 1 , si chiede poi di:

  1. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema, distinguendo i casi \(d>0\) e \(d=0\), studiando in particolare la stabilitá nel caso \(d>0\);

  2. determinare le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi (distinguendo i casi \(d>0\) e \(d=0\) );

  3. nel caso \(d>0\), studiare i moti linearizzati attorno ad una configurazione di equilibrio in cui \(P\) sta su \(r\);

  4. nel caso \(d=0\), studiare il moto del sistema.

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\[q^{\alpha}=(x, \theta)\]
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