Esame del 12 settembre 2014

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Meccanica Analitica
Appello del 12.09.2014

Un sistema materiale, costituito da due punti \(P\) e \(Q\) di uguale massa \(m\), é mobile su un piano verticale \(\Pi\). Il punto \(Q\) é vincolato a muoversi su una circonferenza \(\Gamma\) di \(\Pi\) di centro \(O\) e raggio \(R\), mentre \(P\) é vincolato a muoversi sulla retta orizzontale \(r\), tangente superiormente a \(\Gamma\).

Inoltre \(\Pi\) é in rotazione uniforme con velocitá angolare \(\underline{\omega}\) attorno alla verticale, appartenente a \(\Pi\), passante per il centro \(O\) di \(\Gamma\).

Supposto che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito e che sui punti \(P\) e \(Q\), oltre alle forze peso, agiscano le forze

\[\left\{-\frac{m g}{R}(P-O), P\right\}, \quad\left\{-\frac{m g}{R}(P-Q), P\right\}, \quad\left\{-\frac{m g}{R}(Q-P), Q\right\},\]

essendo \(g\) l'accelerazione di gravitá, e, posto \(\psi^{2} \alpha g / R\) con \(\alpha \geq 0\) ed \(\alpha \neq 1+\sqrt{2}\), si chiede di:

  1. determinare le configurazioni di equilibrio relativo a \(I 1\) studiandone la stabilitá al variare di \(\alpha\);

  2. determinare le equazioni del moto relativo e gli eventuali integrali primi;

  3. studiare i moti linearizzati attorno ad una configurazione di equilibrio, che é stabile per opportuni valori di \(\alpha\), e confrontare la stabilitá lineare di tale configurazione con quella non lineare, al variare del parametro \(\alpha\). \end{abstract}

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