Esame del 3 ottobre 2014

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Meccanica Analitica
Appello del 03.10 .2014

Un sistema materiale piano \(S\), mobile su un piano verticale \(\Pi\), é costituito da un disco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(C\), raggio \(R\) e massa \(m\) e da un'asta omogenea \(A B\) di lunghezza \(4 L\) e massa \(m\), con l'estremo \(A\) inernierato al centro del disco. Tutti i precedenti vincoli sono realizzati senza attrito; inoltre il disco \(\Gamma\) é vincolato a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale \(r\) di \(\ddot{\text { rimanendo }}\) superiormente ad essa. Sul sistema \(S\), oltre alle forze peso agiscono le forze

\[\left\{-\frac{m g}{L}\left(C-C^{*}\right), C\right\}, \quad\left\{-\frac{m g}{L}\left(M-M^{*}\right), M\right\}\]

essendo \(M\) il punto medio di \(A B, C^{*}\) ed \(M^{*}\) le proiezioni ortogonali di \(C\) ed \(M\) su una retta verticale \(s\) di \(\Pi\), e \(g\) il modulo dell'accelerazione di gravitá.

Supposto che il piano \(\Pi\) sia posto in rotazione uniforme attorno alla verticale \(s\) con velocitá angolare \(\omega=\sqrt{\alpha g / L}\) con \(0 \leq \alpha \leq 1\) si chiede, relativamente a \(\Pi\), di:

  1. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema al variare di \(\alpha\), studiandone la stabilitá per \(0 \leq \alpha<1\)

  2. determinare le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi (distinguendo il caso \(\alpha<1\) dal caso \(\alpha=1\) )

  3. studiare i moti linearizzati attorno alla evidente configurazione di equilibrio in cui l'asta \(A B\) é sovrapposta alla retta \(s\) con \(B\) al di sotto di A.

image

\(B\)

\[q^{\alpha} \geq\{x, e\}\]
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