Esame del 11 dicembre 2015

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Matematica
Compito di Fisica Matematica
Appello del 11.12.2015

Sia dato un sistema materiale $S$ , costituito da un cilindro omogeneo di raggio $R / 2$ altezza $h$ e massa $m$ . L'asse del cilindro é vincolato a scorrere senza attrito, lungo l'asse $Z$ di un sistema di riferimento ortonormale ${O, X, Y, Z}$ , tramite due cerniere cilindriche poste nei punti $A$ e $C$ rispettivamente in corrispondenza dei centri delle basi superiore ed inferiore del cilindro. Supposto che oltre alla forza peso sul sistema agiscano le forze elastiche

${F_{1} = - 2 γ (A - O), A}, {F_{2} = - \sqrt{3} γ (B - A^{*}), B}, {F_{3} = - γ (B - D), B}$ ,

dove $γ$ é una costante positiva, $B$ é un punto posto sul bordo della base superiore del cilindro, $A^{*}$ é la proiezione ortogonale di $A$ su una retta verticale passante per l'asse $X$ e distante $R$ da $Z, D$ é un punto sull'asse $Y > 0$ a distanza $3 R$ dall'origine $O$ . Dati le coordinate Lagrangiani $l = O A$ e $φ = A^{*} \hat{A} B$

Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema $S$ , studiando lạ stabilitá delle suddette configurazioni.
Determinare le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi.
Studiare i moti linearizzati attorno alle configurazioni di equilibrio.

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