Esame del 14 dicembre 2015

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Compito di Meccanica Analitica
Appello del 14.12.2015

Un sistema materiale mobile \(S\), posto in un piano verticale, é costituito da due aste omogenee \(A B\) e \(C D\), aventi la stessa massa \(m\) e la stessa lunghezza 2l. Introdotto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(\{O, \mathbf{i}, \mathbf{j}\}\) (come in figura), l'estremo \(A\) di \(A B\) é vincolato a muoversi su una guida verticale di equazione \(x=-d\), l'estremo \(C\) di \(C D\) é vincolato a muoversi su una guida verticale di equazione \(x=d\) (essendo \(2 d\) la distanza tra le due guide), mentre i secondi estremi \(B\) e \(D\) sono vincolati a muoversi su una guida sovrapposta all'asse delle \(X\). Supponendo che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito e che sul sistema \(S\), oltre alla forza peso, agiscano le forze

\[\left\{-\gamma\left(C_{1}-C_{2}\right), C_{1}\right\} \quad \text { e } \quad\left\{-\gamma\left(C_{2}-C_{1}\right), C_{2}\right\}\]

e le due forze costanti

\[\left\{-2 \gamma d i, C_{1}\right\} \quad \text { e } \quad\left\{2 \gamma d i, C_{2}\right\}\]

essendo \(\gamma\) una costante positiva tale che \(\frac{m g}{2 \gamma l}>1\), e \(C_{1}, C_{2}\) rispettivamente i baricentri delle aste \(A B \cdot \mathrm{e} C D\).

  1. Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema \(S\), analizzando la stabilitá delle suddette configurazioni.

  2. Determinare le equazioni di moto e gli eventuali iategrali primi.

  3. Studiare i moti linearizzati attorno alla configurazione di equilibrio nella quale le due aste occupano le posizioni piú basse.

  4. Determinare se esistono moti in cui le aste si mantengono parallele in ogni istante fra loro e, in caso affermativo, dare le condizioni iniziali per cui si verificano tali moti.

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