Esame del 11 febbraio 2016

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Matematica
Compito di Fisica Matematica
Appello del 11.02.2016

Sia dato un sistema materiale \(S\), posto in un piano verticale \(\Pi\), costituito dà una lamina quadrata \(O A B C\), omogenea e pesante, di massa \(m\) diagonale \(2 L\) e baricentro \(G\), e da un punto materiale \(P\) avente anch'esso massa \(m\), vincolato a scorrere senza attrito lungo la diagonale \(O B\) della lamina. La lamina quadrata. puó ruotare attorno al suo vertice \(O\) fisso nel piano verticale II. Oltre alle forze peso agiscono, sul punto materiale \(P\) e sul baricentro \(G\) della lamina quadrata, le seguenti forze elastiche

\[\left\{F_{1}=-k(s-L) \frac{(P-O)}{|P-O|}, P\right\}, \quad\left\{F_{2}=-k(G-\bar{G}), G\right\},\]

essendo s la distanza del punto \(P\) dal vertice \(O\) lungo la diagonale \(O B\) della lamina, la costante elastica \(k=\frac{2 m g}{L}\), e \(\vec{G}\) la proiezione del baricentro \(G\) della lamina, sulla verticale passante per \(O\). Supposti i vincoli lisci, e scegliendo come \(\{\vartheta, s\}\) le coordinate lagrangiane (si veda la figura), si chiede di determinare:

  1. Le configurazioni di equilibrio del sistema \(S\), indagando la stabilitá delle suddette configurazioni.

  2. Le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi.

  3. I moti, in prima approssimazione, attorno alla configurazione di equilibrio in cui il sistema occupa la posizione corrispondente al piú piccolo valore di \(\vartheta\) consentito.

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