Esame del 12 febbraio 2016

Università degli studi di Catania
Corso di laurea in Fisica
Compito di Meccanica Analitica
Appello del 12.02.2016

Sia data una guida circolare \(\gamma\) di centro \(O\) e raggio \(R\) posta in un piano verticale II dove è stato introdotto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale \(\{O, x, y\}\) con l'asse delle \(y\) verticale discendente. Un sistema materiale \(\mathrm{S}\) é costituito da due punti \(P\) e \(Q\) aventi la stessa massa \(m\), vincolati a muoversi senza attrito su \(\gamma\), ed é soggetto, oltre alla forza peso, alle due forze di mutua repulsione

\[\{\mathrm{F}, P\} \quad \text { e } \quad\{-\mathrm{F}, Q\} \quad \text { con } \quad \mathbf{F}=4 \alpha m g R \frac{(P-Q)}{\mid P-Q\}^{2}}\]

essendo \(\alpha\) una costante reale positiva.

Il sistema. ha ovviamente due gradi di libertá, scelte allora come coordinate Lagrangiane gli angoli \(\vartheta\) che \((P-O)\) forma con l'asse delle \(y\) e \(\psi\) che \((Q-O)\) forma con \((P-O)\) ambedue misurati in modo che le rotazioni di \(P\) per \(\vartheta\) crescente, e, per fissato \(P\), quella di \(Q\) per \(\psi\) crescente siano entrambe in senso antiorario.

  1. Dimostrare che la sollecitazione agente su \(S\) é conservativa e che per la coppia \(\{\vartheta, \psi\}\) delle due variabili lagrangiane \(0 \leq \vartheta \leq 2 \pi\) e \(0<\psi<2 \pi\)

  2. Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema \(S\), studiando la stabilitá delle suddette configurazioni.

  3. Determinare le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi.

  4. Studiare i moti linearizzati, determinando la frequenza dei piccoli moti, attorno ad una configurazione di equilibrio stabile.

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