Esame del 20 aprile 2016

Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Matematica
Prova in itinere per il corso di Fisica Matematica
Appello del 20.04.2016

In un piano verticale \(I\) sono poste due guide rettilinee ortogonali fisse \(s_{1}\) ed \(\mathbf{s}_{2}\), formanti un angolo di \(\pi / 4\) con la verticale \(\mathrm{r}\) passante per il punto comune \(o\). Un sistema materiale \(S\) costituito da due dischi omogenei \(\gamma_{1}\) e \(\gamma_{2}\), aventi rispettivamente centri \(G_{1}\) e \(G_{2}\) raggi \(r_{1}\) e \(r_{2}\) con \(r_{1}<r_{2}\) ed uguale massa \(M\), é vincolato senza attrito a stare su \(\Pi\), inoltre \(\gamma_{1}\) e \(\gamma_{2}\) sono vincolati a rotolare senza strisciare rispettivamente su \(s_{1}\) ed \(s_{2}\).

Sapendo che sul sistema oltre alla forza peso agiscono le forze

\[\left\{F_{1}=-k\left(G_{1}-G_{2}\right), G_{1}\right\}, \quad\left\{F_{2}=-k\left(G_{2}-G_{1}\right), G_{2}\right\}\]

dove \(k>0\) e che il piano \(\Pi\) é posto in rotazione uniforme (con velocitá angolare \(\Omega\) ) attorno ad \(r\), si chiede di determinare al variare del parametro \(k\) :

  1. le eventuali configurazioni di equilibrio e discuterne la stabilitá.

  2. scrivere le equazioni di moto, e gli eventuali integrali primi.

  3. studiare il moto del sistema al variare di \(k\);

  4. determinare sotto quali condizioni sui parametri, e con quali condizioni iniziali, si possono avere moti in cui \(\gamma_{1}\) sta in quiete.

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