Esame del 29 aprile 2016
Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Fisica
Prova in itinere per il corso di Meccanica Analitica
Appello del 29.04.2016
In un piano verticale II è posto un sistema materiale è costituito da due punti \(P_{1}\) e \(P_{2}\) di uguale massa \(m\), vincolati a muoversi rispettivamente su due circonferenze \(C_{1}\) e \(C_{2}\) di uguale raggio \(R\), con i centri \(O_{1}\) ed \(O_{2}\) posti a distanza \(4 R\). Sui due punti \(P_{1}\) e \(P_{2}\) agiscono le forze
dove \(k>0 . \Pi\) piano \(\Pi\) é posto in rotazione uniforme, con velocitá angolare \(\omega\), attorno alla retta \(\mathrm{r}\) di \(\Pi\) perpendicolare, al segmento \(\bar{O}_{1} O_{2}\), nel punto medio tra \(O_{1}\) ed \(O_{2}\). Tutti i vincoli sono realizzati senza attrito. Si chiede di:
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Verificare che sono configurazioni di equilibrio per il sistema le 4 configurazioni per le quali \(P_{1}\) e \(P_{2}\) sono allineati con \(O_{1}\) ed \(O_{2}\) e studiare la stabilitá della configurazione \(S_{1}\) in cui i punti \(P_{1}\) e \(P_{2}\) hanno distanza minima.
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Determinare le condizioni sui parametri \(\omega\) e \(k\) affinché siano configurazioni di equilibrio quelle per cui i vettori \(P_{1}-O_{1}\) e \(P_{2}-O_{2}\) siano ortogonali ad \(O_{1}-O_{2}\)
Nelle condizioni di cui al punto 2.
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Scrivere le equazioni di moto del sistema e gli eventuali integrali primi.
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Studiare le equazioni in prima approssimazione attorno alla configurazione di equilibrio \(S_{1}\).
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Verificare se esistono moti per \(i\) quali i vettori \(P_{1}-O_{1}\) e \(P_{2}-O_{2}\) si mantengono paralleli, ed in tali condizioni dire di che moto si tratta.
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