Massimo Trovato
Appello del 1 marzo 2019
Università degli studi di Catania
Un sistema materiale, posto in un piano verticale \(\Pi\) , é costituito da
una sbarra rigida omogenea pesante \(A B\) di massa \(M\) e da un disco
omogeneo pesante \(\Gamma\) di massa \(m\) , centro \(C\) e raggio \(r\) . Il
disco \(\Gamma\) é vincolato a rotolare senza strisciare lungo il bordo
interno di una guida circolare fissa \(\gamma\) di raggio \(R>r\) e centro
\(O\) posta in \(\Pi\) . Considerando il riferimento cartesiano ortogonale
\(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) , come in figura, l'asta \(A B\) , di lunghezza
\(L>R\) , si muove lungo la direzione verticale \(y\) con l'estremo \(A\)
sull'asse \(O y\) , mantenendosi ortogonale a questo asse e passando per il
centro \(C\) del disco \(\Gamma\) . Sul sistema, oltre alla forza peso,
agiscono le seguenti forze
\[\left\{F_{1}=-k(C-Q), C\right\} \quad\left\{F_{2}=-\beta m g \vec{e}_{2}, A\right\} \quad \operatorname{con} \quad k, \beta>0\]
essendo \(Q\) il punto di intersezione del circolo \(\gamma\) con l'asse
delle \(y\) positiva, ed \(\vec{e}_{2}\) il versore dell'asse \(y\) .
Il piano \(\Pi\) é posto in rotazione uniforme con velocitá angolare
\(\underline{w}\) attorno alla verticale \(y\) di \(\Pi\) e tutti i vincoli
sono realizzati senza attrito.
Nella ipotesi che la costante elastica \(k=\alpha m g / R\) con
\(\beta>\alpha>0\) e scegliendo come coordinata lagrangiana l'angolo
\(\vartheta\) che la direzione di \(\overrightarrow{O C}\) forma con la
verticale discendente (vedi figura), si chiede di determinare nel
riferimento relativo:
Le configurazioni di equilibrio del sistema, studiandone la
stabilitá.
Scrivere le equazioni di moto, determinando gli eventuali integrali
primi.
Studiare i moti in prima approssimazione attorno alle configurazioni
di equilibrio per il sistema.
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I contenuti pubblicati rappresentano dei test e non si assicura la correttezza delle soluzioni riportate.
Visualizza lo svolgimento
\[\begin{aligned}
& Q=(0, R) \quad \tilde{P}=(R \sin \theta,-R \operatorname{con} \omega) \\
& A=(0,-(R-r) \cos \theta) \\
& B=(L,-(R-r) \cos \theta) \\
& C=((R-r) \operatorname{sen} \theta,-(R-r) \cos \theta) \\
& \left.F_{1}=-k((R-r) \sin \theta)-R \cos \theta+r \cos \theta-R\right) \quad x \\
& F_{2}=-\beta m g(0,1)
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
& d F^{c a \bar{~}}=\omega^{2}(P-\bar{P}) \text { dur su ciascun porio } P \text { del siñema } \\
& U_{p}^{\Pi}+U_{p}^{A B}=m g(0,-1) \cdot(c-0)+M g(0,-1) \cdot(G-0)=m g(R-r) \cos \theta+M 0(R-r) \cos \theta=(m+M)(R-r) g \cos \theta \\
& U_{1}=-\frac{1}{2} k(C-Q)^{2}=-\frac{1}{2} k((R-r) \operatorname{sen} \theta,-(R-r) \cos \theta-R)^{2}=-\frac{1}{2} k\left[(R-r)^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta+(R-r)^{2} \cos 2 \theta+2 R(R-r) \cos \theta+R{ }^{2}\right]= \\
& =-\alpha \operatorname{cog}(R-r) \cos \theta+\cos \\
& U_{2}=-\beta \operatorname{mg}(0,1) \cdot(A-0)=\beta(R-r) m g \cos \theta \\
& U_{\operatorname{cen}}^{\pi}=\frac{1}{2} \omega^{2} \int_{\Gamma}(p-\bar{p})^{2} d u=\frac{1}{2} I_{y, 0}^{\Gamma} \omega^{2}= \\
& I_{y, 0}=m(C-A)^{2}+\underset{\downarrow}{I_{y, C}^{\Gamma}} \\
& =\frac{1}{2} m(C-A)^{2} \omega^{2}+\cos -= \\
& =\frac{1}{2} m(R-r)^{2} \omega^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
& U_{\theta \theta \theta}=-(m+r)(R-r) g \cos \theta+\alpha m g(R-r) \cos \theta-\beta(R-r) m g \cos \theta+m(R-r)^{2} \omega^{2} \cos 2 \theta \\
& U_{0,}(0)=-(m+M)(R-r) g+\alpha m g(R-r)-\beta(R-r) m g+m(R-r)^{2} \omega^{2}= \\
& =(R-r) m\left[\left(-1-\frac{M}{m}+\alpha-\beta\right) g+(R-r) \omega^{2}\right]=(R-r) m\left[(R-r) \omega^{2}-\delta g\right]>0 \\
& \omega^{2}(R-r)-\delta_{0}^{\pi}>0 \\
& \omega^{2}(R-r)>\delta g
\end{aligned}\]
\(\vartheta=0\) rtab.le \(x \frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)}>1\) , iustabile
se \(\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)}<1\)
Se \(\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)}=1\)
\[\begin{aligned}
& {\left[-\delta g+\omega^{2}(R-r) \cos \theta\right](R-r) m \ln \theta>0 \quad[-1+\cos \theta] \omega^{2}(R-r)^{2} m \operatorname{sen} \theta>0<><\varepsilon<2 \pi} \\
& \vartheta=0 \text { i max del poiertiale } \Rightarrow \\
& \Rightarrow \text { eqo eibrio rtabile }
\end{aligned}\]
\(U_{00}(\pi)=(m+\pi)(R-r) g-\alpha m g(R-r)+\beta(R-r) m g+m(R-r)^{2} \omega^{2}>0 \Rightarrow \pi\)
e iusiabile
Deito
\(\lambda=\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)} \quad U_{\theta \theta}(\hat{\vartheta})=U_{v \theta}(-\hat{\vartheta})=m(R-r)^{2} \omega^{2}\left[-\lambda^{2}+2 \lambda^{2}-1\right]=\)
\(=m(R-r)^{2} \omega^{2}\left[\lambda^{2}-1\right]<0 \quad\) percle
\(\lambda=\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)}<1 \Rightarrow \hat{\vartheta} e-\hat{\vartheta}\)
stabie.
Energe cinetice
\[\begin{aligned}
& T^{A B}=\frac{1}{2} M \dot{e}^{2}=\frac{1}{2} M(R-r)^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta \dot{\theta}^{2} \\
& T^{\Gamma}=\frac{1}{2} m \dot{C}^{2}+\frac{1}{2} I_{z, c}^{n} \Omega^{2}=\quad I_{z, c}=\iint \rho^{2} d u=\int \rho^{2} \sigma \rho d \rho d a= \\
& =\frac{1}{2} m(R-r)^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{4} m r^{2} \Omega^{2} \quad=\frac{m}{\pi r^{2}} \int_{0}^{r} \rho^{3} d \rho \int_{0}^{2 \pi} d \alpha= \\
& V_{\hat{p}}=0=\dot{C}+\Omega x(\hat{p}-c) \quad=\frac{m}{\pi r^{2}} \frac{r^{4}}{4} \quad 2 \pi=\frac{1}{2} m r^{2} \\
& \left|\begin{array}{ccc}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\
0 & 0 & \Omega \\
\text { rame } & - \text { ran } \theta & 0
\end{array}\right| \quad \tilde{P}=(R \sin \theta,-R \cos \theta) \\
& (r \cos \theta \Omega, r \sin \theta \Omega, 0) \quad C=((R-r) \operatorname{sen} \theta,-(R-r) \cos \theta) \\
& \dot{C}=((R-r) \cos \theta \dot{\theta},(R-r) \operatorname{mi\theta } \theta)=(r \cos \theta \Omega, r \sin \theta \Omega, 0) \quad \begin{array}{l}
(R-r) \cos \theta \dot{\theta}=r \cos \theta \Omega \\
(R-r) \min \theta=r \sin \Omega
\end{array}
\end{aligned}\]
Euerpia ro canderva
\(\(\begin{aligned}
& T^{r}=\frac{1}{2} m(R-r)^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{9} m(R-r)^{2} \dot{\theta}^{2}=\frac{3}{4} m(R-r)^{2} \dot{\theta}^{2} \\
& T=\frac{1}{2} M(R-r)^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta \dot{\theta}^{2}+\frac{3}{4} m(R-r)^{2} \dot{\theta}^{2} \\
& \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=M(R-r)^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta \dot{\theta}+\frac{3}{2} m(R-r)^{2} \dot{\theta} \\
& \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \theta}=M(R-r)^{2} m m^{2} \theta \ddot{\theta}+2 \pi(R-r)^{2} \operatorname{sen} \theta \cos \theta \dot{\theta}^{2}+\frac{3}{2} m(R-r)^{2} \theta \\
& \frac{\partial T}{\partial \theta}=M(R-r)^{2} \operatorname{sen} \theta \cos \theta \dot{\theta}^{2}
\end{aligned}\) \) [
\left\frac{3}{2} m+\pi \operatorname{sen}^{2}
\theta\right ^{2} \ddot{\theta}+M(B-r)^{2}
\operatorname{sen} \theta \cos \theta \theta^{2}=[-\lambda+\cos
\theta] m \omega{2}(R-r) \theta} \operatorname{sen
][
\left[\frac{3}{2} m+\pi \operatorname{sen}^{2} \theta\right]
\ddot{\theta}+\pi \operatorname{sen} \theta \cos \theta
\dot{\theta}^{2}=m \omega^{2} \sin \theta(\cos \theta-\lambda)
] Madi enearittati
\[\frac{3}{2} m \ddot{\theta}=\left.Q_{\theta}\right|_{s}+\left.U_{-0}\right|_{s}\left(\theta-\theta_{s}\right)\]
\(S_{1} \quad \theta=0\)
\[\begin{aligned}
& \frac{3}{2} m \dot{\theta}=m\left[\omega^{2}-\delta g\right] \theta=\quad m \omega^{2}[1-\lambda] \vartheta \\
& \frac{3}{2} m t^{2}=m \omega^{2}(1-\lambda) \rightarrow \tau^{2}=2 \frac{\omega^{2}(1-\lambda)}{3}>0 \Leftrightarrow \lambda<1
\end{aligned}\]
\(\lambda<1\) woti iperbolici \(\lambda=1\) woti uniformi \(\rightarrow\) non
a sems \(e_{a}\) \(\lambda>1\) wesi arcwonici eluedriftatione
\[\begin{aligned}
S_{2} \quad \theta=\pi & \frac{3}{2} m \ddot{\theta}- \\
& =m \quad \omega^{2}\left[\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)^{2}}+1\right](\theta-\pi) \quad \text { Cerco rhmer } \quad \theta-\pi=\theta_{0} e e^{t}
\end{aligned}\]
\(0<\lambda<1 \quad \tau^{2}=\frac{2}{3} \quad \omega^{2}\left(\frac{\delta g}{\omega^{2}(R-r)^{2}}+1\right) \rightarrow 0 \Rightarrow\)
mot iperbale.
\(S_{3} \quad \theta=\hat{\theta}\)
\[\frac{3}{2} m \ddot{\vartheta}=m \omega^{2}\left[\lambda^{2}-1\right](\theta-\hat{\vartheta}) \quad,-\hat{\vartheta}=\theta_{0} e^{\alpha t}\]
\[\frac{3}{2} m \alpha^{2}=m \omega^{2}\left(\lambda^{2}-1\right)\]
\[a^{2}=\frac{2}{3} \omega^{2}\left(\lambda^{2}-1\right)<0 \quad \Rightarrow \text { moti drmonici }\]
Andogle conideradin valyow per \(v=-\hat{\theta}\)
