Esame del 28 febbraio 2020
Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 28.02.2020
Un sistema materiale rigido, posto in un piano verticale II, é costituito da una sbarra omogenea pesante \(A B\) di massa \(m\) e lunghezza \(L\) e da un disco omogeneo pesante \(\Gamma\) di massa \(2 m\), centro \(G\) e raggio \(r\). L'asta \(A B\) é rigidamente saldata sul disco \(\Gamma\), lungo un suo raggio, in maniera tale che l'estremo \(A\) coincida. con il centro del disco. Il disco \(\Gamma\) é vincolato a rotolare senza strisciare, lungo il bordo interno di una guida circolare \(\gamma\) di raggio \(R=3 r\) fissa nel piano verticale, in maniera tale che quando \(\Gamma\) si trova nella posizione piú bassa (vedi figura) il vettore \(B-A\) sia verticale ascendente. Sul sistema oltre alla forza peso agisce la forza elastica
essendo \(P\) il punto fisso di intersezione della guida circolare \(\gamma\) con l'asse delle \(x\) positive, come in figura. Supponendo che valgano le relazioni \(k=m g / r\) e \(L=(12 / \sqrt{2}) r\) e scegliendo come coordinata lagrangiana l'angolo \(\theta\) che la direzione di \(\overrightarrow{O G}\) forma con la verticale discendente (vedi figura), si chiede di determinare
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Le configurazioni di equilibrio \({ }^{1}\) del sistema, studiandone la stabilitá.
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Scrivere l'equazione di moto, determinando gli eventuali integrali primi.
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Studiare i moti in prima approssimazione attorno ad una configurazione di equilibrio stabile per il sistema.
\({ }^{1}\) Si suggerisce di usare la trasformazione \(\vartheta=\psi^{i}+\pi / 4\)
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