Esame del 17 luglio 2020

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 17.07.2020

Un sistema materiale, appartenente ad un piano verticale \(\pi\), sia costituito da una disco \(\Gamma\) omogeneo di massa \(m\) e raggio \(r=R / 4\) e centro \(C\), vincolato a muoversi rotolando senza strisciare internamente ad una guida circolare fissata \(\gamma\) di centro \(O\) e raggio \(R\) (essendo \(Q\) il punto di contatto tra il disco \(\Gamma\) e l'anello \(\gamma\) ), e da una barra \(A B\) omogenea di massa \(M(M \neq m)\) e lunghezza \(L=2 R\) avente il suo estremo \(A\) fissato, coincidente con il centro \(O\) di \(\gamma\), e potendo quindi ruotare attorno ad esso. Sul sistema, agiscono soltanto le forze

\[\{F, C\} \quad\{-F, B\} \quad \text { essendo } F=-k(C-B) \quad \text { con } \quad k>0 \text {. }\]

Posto \(O\) come origine del riferimento \(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) (vedi figm'a), ed il piano \(\pi\) in rotazione uniforme, con velocitá angolare \(\omega\), attorno all'asse \(\vec{y}\), si suppone che tutti i vincoli associati all'asta siano senza attrito, ed si individuano come possibili coordinate lagrangiane i due angoli, \(\vartheta\) che l'asta \(A B\) forma con l'asse \(\vec{x}\) e \(\varphi\) che il raggio \(O Q\) forma con l'asse \(\vec{x}\) (vedi figura).

Si chiede di determinare nel riferimento relativo:

  1. Tutte le possibili (ed evidenti) configurazioni di equilibrio del sistema assumendo che \(\sin (\varphi-\theta)=0\).

  2. studiare la stahilitá ed instabilitá delle sole configurazioni ottenute per \(\varphi=\theta\), assumendo per semplicitá che \(m=64 / 27 M\) e \(k \neq 4 / 9 M \omega^{2}\).

  3. Le equazioni di moto e gli eventuali integrali primi.

  4. Studiare i moti linearizzati (con la condizione \(m=64 / 27 M\) ), del sistema descritto, attorno alle evidenti configurazioni di equilibrio \(\{0,0\}\) ed \(\{\pi, \pi\}\).

image

Visualizza lo svolgimento

Non ancora disponibile :(

Se sei in possesso dello svolgimento, puoi valutare la possibilità di contribuire al progetto facendo click sull'icona di modifica in alto a destra () dopo aver creato un account GitHub.

Leggi di più su come contribuire.

Download