Esame del 26 febbraio 2021
Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 26.02.2021
Un sistema materiale, posto in un piano verticale \(\Pi\), é costituito da due aste rigide omogenee pesanti \(A B\) ed \(C D\) di lunghezza \(2 R\) e massa \(m\) e da un disco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(G\), raggio \(R\) e massa \(M=m / 3\). Il sistema è soggetto ai seguenti vincoli: L'estremo \(A\) di \(A B\) è fisso in un punto \(O\) di \(\Pi\), gli estremi \(B\) e \(C\) delle due aste sono incernierati tra loro, mentre l'estremo \(D\) della seconda asta é incernierato nel centro \(G\) del disco \(\Gamma\), il quale a sua volta é vincolato a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale \(s\) posta inferiormente ad \(O\) a distanza \(R\) da esso (vedi figura).
Oltre alla forza peso, sul sistema agisca la forza elastica
Inoltre supponendo che, il piano II é posto in rotazione uniforme, con velocitá angolare \(\omega=\sqrt{2 k / m}\), attorno alla verticale (asse \(y\) in figura) passante per \(O\), che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito, e considerando come variabile lagrangiana l'angolo \(\vartheta\) che l'asta \(A B\) forma con l'asse orizzontale \(x\) (vedi figura), si chiede di determinare nel riferimento relativo:
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Le configurazioni di equilibrio del sistema, studiandone la stabilitá al variare di \(k\).
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Scrivere l'equazione di moto, determinando gli eventuali integrali primi.
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Studiare i moti in prima approssimazione attorno alle possibili configurazioni di equilibrio del sistema.
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