Esame del 18 giugno 2021

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 18.06.2021

Un sistema materiale, mobile in un piano verticale \(\Pi\), é costituito da un'asta rigida omogenea \(B D\) di lunghezza \(2 L\) e massa \(m\) e da un disco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(C\), raggio \(R\) e massa \(M=2 m / 3\). Il sistema è soggetto ai seguenti vincoli: Il disco \(\Gamma\), é vincolato a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale (asse \(\mathrm{x}\) ) di \(\Pi\). L'estremo \(B\), dell'asta \(B D\), è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida verticale (asse y) di \(\Pi\), mentre l'asta stessa é inoltre vincolata a passare per il centro \(C\) di \(\Gamma\). Sul sistema oltre alle forze peso, agisce la forza elastica \(F=-k(G-\bar{G})\) dove \(G\) é il baricentro dell'asta \(B D, \bar{G}\) la sua proiezione sull'asse delle y (vedi figura) e \(k=m g / L\) una costante positiva. Sul sistema agiscono anche le ulteriori forze

\[\left\{F_{1}, C\right\}, \quad\left\{-F_{1}, B\right\} ; \quad\left\{F_{2}, C\right\}, \quad\left\{-F_{2}, D\right\}\]

con

\[F_{1}=\frac{h}{\overline{B C}^{2}}(\dot{C}-B), \quad \text { ed } \quad F_{2}=\frac{h}{\overline{D C}^{2}}(C-D)\]

essendo \(h=m g L\) una costante positiva. Considerando come variabili lagrangiane l'angolo \(\vartheta\) che l'asta \(B D\) forma con l'asse verticale \(y\) (vedi figura) ed \(X\) la distanza, lungo l'asta \(B D\), tra il baricentro \(G\) dell'asta ed il centro \(C\) di \(\Gamma\) (vedi figura), si chiede di provare che la sollecitazione é conservativa, dimostrando che il punto \(C\) non puó raggiungere i punti \(B\) e \(D\), ed inoltre di determinare:

  1. Le configurazioni di equilibrio del sistema, studiandone la stabilitá,

  2. Scrivere le equazioni del moto, determinando gli eventuali integrali primi.

\(\because\) 3. Studiare i moti in prima approssimazione attorno ad una configurazione. di equilibrio stabile del sistema.

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