Esame del 16 luglio 2021

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 16.07 .2021

Sia dato un sistema \(S\) costituito da due aste omogenee, \(A B\) di massa \(m\) e lunghezza \(2 l\) e, \(C D\) di massa \(M=m / 6\) e lunghezza \(6 l\), soggette ai seguenti vincoli. L'asta \(A B\) ha il suo estremo \(A\) vincolato a scorrere lungo una guida verticale \(\mathbf{r}\) (azze \(\mathrm{z}\) in figura) e l'estremo \(B\) a muoversi su un piano orizzontale П. L'altra asta \(C D\) ha il punto medio \(G\) incernierato in \(B\) ed è ulteriormente vincolata a passare per il punto \(O\) comune ad r e \(\Pi\). Sul sistema agiscono, oltre alle forze peso, la forza \(\{F=-k(B-O), B\}\) e la forza di potenziale \(-h \varphi^{2}\), essendo \(k\) e \(h\) due costanti positive e \(\varphi \in[0,2 \pi\) [ l'angolo che l'asta \(C D\) forma con una retta di II passante per \(O\) (asse \(\mathrm{x}\) in figura). In questo modo si determina (vedi figura) il riferimento \(\{O, x, y, z\}\) rispetto al quale si muove il sistema \(S\). Inoltre supponendo che riferimento \(\{O, x, y, z\}\) si muova di moto rotatorio uniforme, con velocitá angolare \(\omega\), attorno alla verticale (asse z) passante per \(O\), che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito, e considerando come variabili lagrangiane l'angolo \(\varphi\) giá introdotto e l'angolo \(\vartheta\) che l'asta \(A B\) forma con la verticale (asse \(z\) ), ed assumendo per semplicitá che \(k=m \omega^{2}\) ed \(g /\left(2 l \omega^{2}\right) \neq 1\) si chiede di determinare nel riferimento relativo \(\{O, x, y, z\}\) :

  1. le eventuali configurazioni di equilibrio e discutere, se possibile, della stabilitá di tali configurazioni.

  2. Scrivere le equazioni di moto, e gli eventuali integrali primi.

  3. Studiare i moti in prima approssimazione attorno ad una eventuale configurazione di equilibrio stabile.

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