Esame del 24 settembre 2021
Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 24.09.2021
In un piano verticale, si consideri un riferimento fisso \(\left\{O^{\prime}, x^{\prime}, y^{\prime}\right\}\) ed un riferimento mobile relativo \(\{O, x, y\}\), con gli assi orizzontali \(x\) ed \(x^{\prime}\) costantemente sovrapposti, che si muove di moto traslatorio lungo la direzione positiva di \(x^{\prime}\) con accelerazione costante \(a=g\) (essendo \(g\) l'accelerazione di gravitá).
Solidale con il riferimento mobile relativo, sia dato un sistema materiale \(S\), posto nel piano verticale \(x y\), costituito da un disco omogenco \(\gamma\) di massa \(M\) centro \(C\) e raggio \(R\) e da un'asta omogenea \(A B\) di massa \(2 M\) baricentro \(G\) e lunghezza \(L=\sqrt{3} R\). Il sistema é soggetto ai seguenti vincoli: \(\gamma\) é vincolata a rotolare senza strisciare all'interno di una circonferenza fissa. \(\Gamma\) di centro \(O\) e raggio \(2 R\); l'asta \(A B\) ha gli estremi \(A\) e \(B\) vincolati a scorrere senza attrito sul bordo di \(\gamma\) (vedi figura).
Sul sistema \(S\), altre alla forza peso, agisce la forza \(\{F=-k(C-\bar{C}), C\}\), dove \(\bar{C}\) é la proiezione ortogonale di \(C\) sull'asse delle \(y\) e \(k\) é una costante positiva. Sciegliando come coordinate lagrangiane le variabili \(\{\vartheta, \varphi\}\) dove \(\vartheta\) é l'angolo che il vettore \(C-O\) forma con la verticale discendente e \(\varphi\) é l'angolo che il vettore \(G-C\) forma con la verticale discendente (passante per \(C\) ) e ponendo per semplicitá \(k=6 \sqrt{2} \mathrm{Mg} / R, \quad\) si chiede di :
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Determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio relativo \({ }^{1}\) di \(S\), analizzando la loro stabilitá ed instabilitá.
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Scrivere le equazioni del moto relativo di \(S\) e gli eventuali integrali primi
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Studiare i moti in prima approssimazione attorno ad una eventuale configurazione di equilibrio stabile per il sistema.
\({ }^{1} \mathrm{Si}\) suggerisce di usare la trasformazione \(\vartheta=\psi+\pi / 4\).
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